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Dimension algébrique de sous-groupes analytiques de variétés de groupe

Michel Waldschmidt (1975)

Annales de l'institut Fourier

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Soient G une variété de groupe définie sur le corps Q ‾ des nombres algébriques, et φ : C n → G C un sous-groupe à n paramètres de G , de dimension algébrique d . Nous nous proposons de majorer le rang ℓ (sur Z ) des sous-groupes Γ de C n dont l’image par φ est contenue dans le groupe G Q ‾ des points algébriques de G . E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de Γ sont très bien distribués : pour d ≥ n + 1 , on a ℓ ≤ n 2 + 3 n pour des variétés linéaires, et ℓ ≤ 2 n 2 + 4 n pour des...

Points algébriques de hauteur bornée sur la droite projective

Cécile Le Rudulier (2014)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

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On considère une hauteur adélique absolue sur l’ensemble des points algébriques de la droite projective 1 , relative à un fibré en droites ample. Nous donnons une formule asymptotique pour le nombre de points algébriques de 1 de degré fixé et de hauteur inférieure à B, lorsque B tend vers l’infini. Le cas où la hauteur considérée est la hauteur absolue usuelle a été traité par Masser et Vaaler. Nous généralisons ce résultat pour les hauteurs adéliques quelconques, en adoptant un point...

Sur une application de la formule de Selberg-Delange

F. Ben Saïd, J.-L. Nicolas (2003)

Colloquium Mathematicae

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E. Landau has given an asymptotic estimate for the number of integers up to x whose prime factors all belong to some arithmetic progressions. In this paper, by using the Selberg-Delange formula, we evaluate the number of elements of somewhat more complicated sets. For instance, if ω(m) (resp. Ω(m)) denotes the number of prime factors of m without multiplicity (resp. with multiplicity), we give an asymptotic estimate as x → ∞ of the number of integers m satisfying 2 ω ( m ) m ≤ x , all prime factors...

Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction q -dzeta

Jean-Paul Bézivin (2008)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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Pour q ∈ ℂ , | q | < 1 , on définit la q -analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ζ q ( k ) = ∑ n ≥ 1 σ k - 1 ( n ) q n = ∑ n ≥ 1 n k - 1 q n 1 - q n . Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de q . La première concerne l’indépendance linéaire sur ℂ ( q ) des fonctions ζ q ( k ) , pour k ≥ 1 , et la seconde l’indépendance algébrique sur ℂ ( q ) des fonctions ζ q ( 2 ) , ζ q ( 4 ) , ζ q ( 6 ) , et des fonctions ζ q ( 2 k + 1 ) , k ≥ 0 . Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde. Dans cet article, nous considérons...

Valeurs zêta multiples. Une introduction

Michel Waldschmidt (2000)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit s ̲ = ( s 1 , ⋯ , s k ) un k -uplet d’entiers positifs avec k ≥ 1 . Pour s 1 ≥ 2 , la série ∑ n 1 > ⋯ > n k ≥ 1 n 1 - s k ⋯ n k - s k converge et sa somme est notée ζ ( s ̲ ) . Dans le cas k = 1 il s’agit simplement des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers positifs. Quelles relations algébriques existent entre ces nombres ? Le produit ζ ( s ' ) ζ ( s ' ' ) de deux valeurs de fonctions zêta multiples est une combinaison linéaire de ζ ( s ̲ ) , comme on le voit facilement en multipliant les séries : c’est le produit de mélange lié aux séries...

Sur un problème de Rényi et Ivić concernant les fonctions de diviseurs de Piltz

Rimer Zurita (2013)

Acta Arithmetica

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Let Ω(n) and ω(n) denote the number of distinct prime factors of the positive integer n, counted respectively with and without multiplicity. Let d k ( n ) denote the Piltz function (which counts the number of ways of writing n as a product of k factors). We obtain a precise estimate of the sum ∑ n ≤ x , Ω ( n ) - ω ( n ) = q f ( n ) for a class of multiplicative functions f, including in particular f ( n ) = d k ( n ) , unconditionally if 1 ≤ k ≤ 3, and under some reasonable assumptions if k ≥ 4. The result also applies to f(n) = φ(n)/n (where φ is...

Crible asymptotique et sommes de Kloosterman

Jimena Sivak-Fischler (2009)

Bulletin de la Société Mathématique de France

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On montre à l’aide de méthodes de crible, de méthodes issues de la théorie des formes automorphes et de géométrie algébrique ainsi qu’à l’aide de la loi de Sato-Tate verticale que le signe des sommes de Kloosterman Kl ( 1 , 1 ; n ) change une infinité de fois pour n parcourant les entiers sans facteur carré ayant au plus 18 facteurs premiers. Ceci améliore un résultat précédent de Fouvry et Michel qui avaient obtenu 23 à la place de 18 .