Étant donné une hypersurface $X$ de ${ℂ}^n$, on majore la croissance des fonctions entières définissant $X$. On en déduit qu’une fonction méromorphe $f$ dans ${ℂ}^n$ s’écrit comme quotient de deux fonctions entières $g$ et $h$, dont la croissance est liée à celle de $f$.

On étend au cas de $n$ variables la solution d’un problème de T. Carleman, et on l’applique à la définition de classes quasi-analytiques de fonctions dérivables $f(x_1,...,x_n).$ Parmi les classes définies sur un ouvert par les conditions $|D^{\left(\alpha \right)}f\le M_{\left(\alpha \right)},$ $\left(\alpha \right)$ indice de dérivation multiple, on caractérise celles, $C\left[M_{\left(\alpha \right)}\right]$, qui ne peuvent contenir de fonction $f\not\equiv 0$, à support compact. Extension aux classes définies à partir d’une suite $P\left[\frac{\partial }{\partial x_k}\right]\left(f\right)$ d’opérateurs polynômes différentiels, homogènes, à coefficients constants. ...

Soit $a\left(n\right)$ le nombre de groupes abéliens d’ordre $n$. Pour étudier les grandes valeurs prises par $a\left(n\right)$, on définit, comme l’a fait Ramanujan pour le nombre de diviseurs de $n$, les nombres $a$-hautement composés et $a$-hautement composés supérieurs. Pour calculer ces derniers nombres, on détermine les sommets de l’enveloppe inférieure convexe de la fonction $logP\left(n\right)$ où $P\left(n\right)$ est le nombre de partitions de $n$. Sous l’hypothèse de Riemann, on donne un développement asymptotique de l’ordre maximum de la fonction...

On étudie sommairement la distribution des valeurs de $L^{\text{'}}(1,\chi )$ ($\chi$ : caractère de Dirichlet primitif réel) et on constate qu’on a en général $L^{\text{'}}(1,\chi )\<{\pi }^2/6$; on démontre par ailleurs que $L(1,\chi )\>c\left(ϵ\right)/logk$ ($k$ : conducteur de $\chi$; $c\left(ϵ\right)$: constante positive effectivement calculable.

Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P\left(x\right)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N\left(x\right)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. En posant $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)$, la condition de Beurling est $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ avec $a\>\frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec...

Let $\tau \left(n\right)$ be the number of divisors of $n$ ; let us define $$S_{\lambda }\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\ge {(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \ge 1\hfill \\ Card\left\{n\le x;\tau \left(n\right)\<{(logx)}^{\lambda log2}\right\}\hfill & \mathrm{if}\lambda \<1\hfill \end{array}\right.$$ It has been shown that, if we set $$f(\lambda ,x)=\frac{x}{{(logx)}^{\lambda log\lambda -\lambda +1}\sqrt{loglogx}}$$ the quotient $S\lambda \left(x\right)/f(\lambda ,x)$ is bounded for $\lambda$ fixed.$$ The aim of this paper is to give an explicit value for the inferior and superior limits of this quotient when $\lambda \ge 2$. For instance, when $\lambda =1/log2$, we prove $$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=0.938278681143\cdots$$ and $$liminf\frac{S_{\lambda }\left(x\right)}{f(\lambda ,x)}=1.148126773469\cdots$$