Une formule d'interpolation en deux variables

Damien Roy

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Nombres de racines d’un polynôme entier modulo $q$

Monique Branton, Olivier Ramaré (1998)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Similarity:

Nous montrons que l’ensemble des racines modulo une puissance d’un nombre premier d’un polynôme à coefficients entiers de degré $d$ est une union d’au plus $d$ progressions arithmétiques de modules assez grands. Nous en déduisons une majoration du nombre de ses racines dans un intervalle réel court.

Sur l'approximation algébrique en degré de transcendance un

Michel Laurent, Damien Roy (1999)

Annales de l'institut Fourier

Similarity:

Soient $𝒞$ une courbe algébrique affine de $ℂ^{m}$ définie sur $ℚ$ , et $\underline{θ}$ un point de $𝒞$ qui n’est pas algébrique. On démontre l’existence d’une infinité de “bonnes” approximations de $\underline{θ}$ par des points algébriques de $𝒞$ de degré et taille bornés, les majorants du degré et de la taille étant choisis à l’intérieur de suites satisfaisant certaines conditions de croissance modérée. On établit aussi une minoration du degré de ces bonnes approximations, raffinant ainsi un résultat de Wirsing. Comme corollaire,...

Sur les systèmes d'équations différence-différentielles

C. A. Berenstein, B. A. Taylor, A. Yger (1983)

Annales de l'institut Fourier

Similarity:

Étant donné un système $(S)$ d’équations différence-différentielles à coefficients constants en deux variables, où les retards sont commensurables, de la forme : $μ_{1} * f = 0$ , $μ_{2} * f = 0$ , si le système n’est pas redondant (i.e. $V {{\hat{μ}}_{1} = {\hat{μ}}_{2} = 0}$ est discrète dans $C^{2}$ ), toute solution $C^{\infty}$ du système admet une représentation $f (x) = Σ a_{γ} (x) e^{i ⟨ γ, x ⟩}$ , où $γ \in V$ , $a_{γ} \in C [x_{1}, x_{2}]$ et $a_{γ} (x) e^{i ⟨ γ, x ⟩}$ est une solution du système $(S)$ . La série est de plus convergente dans $ℰ (R^{2})$ après un groupement de termes indépendant de la solution $f$ .

Oscillations d'un terme d'erreur lié à la fonction totient de Jordan

Y.-F. S. Pétermann (1991)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Similarity:

Let $J_{k} (n) : = n^{k} \prod_{p ∣ n} (1 - p^{- k})$ (the $k$ -th Jordan totient function, and for $k = 1$ the Euler phi function), and consider the associated error term $E_{k} (x) : = \sum_{n \leq x} J_{k} (n) - \frac{x^{k + 1}}{(k + 1) ζ (k + 1)} .$ When $k \geq 2$ , both $i_{k} : = E_{k} (x) x^{- k}$ and $s_{k} : = lim sup E_{k} (x) x^{- k}$ are finite, and we are interested in estimating these quantities. We may consider instead $I k : = \underset{n \in ℕ, n \to \infty}{lim inf}$ d 1 (d)dk ( 12 - { nd} ), since from [AS] $i_{k} = I_{k} - {(ζ (k + 1))}^{-} 1$ and from the present paper $s_{k} = - i_{k}$ . We show that $I_{k}$ belongs to an interval of the form $(\frac{1}{2 ζ (k)} - \frac{1}{(k - 1) N^{k - 1}}, \frac{1}{2 ζ (k)}),$ where $N = N (k) \to \infty$ as $k \to \infty$ . From a more practical point of view we describe...

Sur certains ensembles normaux

J.-P. Borel (1989)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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$Λ$ étant une suite de nombres réels, soit $B (Λ)$ l’ensemble normal associé. Pour $A \subset ℝ$ , nous étudions la question : existe-t-il une suite $Λ$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A = B (Λ)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$ . Dans les cas les plus simples, où $A \subset ℤ$ , ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q \in ℝ [X]$ , avec la contrainte « $P Q$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles...

Une application nouvelle de la méthode de Thue

Pietro Corvaja (1995)

Annales de l'institut Fourier

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Soient $K$ un corps de nombres de degré $n$ sur le corps des nombres rationnels $Q$ , $v$ une place de $K$ . Nous démontrons que pour presque tout couple $(α, β) \in K \times Q$ , avec $α \neq β$ , on a $| α - β | > H (α)^{- 2 n \sqrt{n}} H (β)^{- 4 \sqrt{n}}$ , où $H (\cdot)$ désigne la hauteur de Weil absolue. Un résultat semblable vaut quand le corps des approximants $Q$ est remplacé par un corps de nombres quelconque.

Irrationalité de $ζ (s)$ pour $s \leq q$ dans certains modules de Drinfeld de rang $1$

G. Damamme (1993)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Solutions entières d'un système d'équations aux différences. II

Jean-Paul Bézivin, François Gramain (1996)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $s$ un entier naturel non nul, et $f$ une fonction entière de $s$ variables complexes. Dans un article précédent, nous avons démontré dans le cas $s = 1$ , que si $f$ est une solution d’un système de $2$ équations aux différences à coefficients polynomiaux dans deux directions différentes, avec une condition restrictive portant sur les équations, alors $f$ est le quotient d’un polynôme exponentiel par un polynôme. Dans cet article, nous démontrons ce résultat dans le cas général, et l’analogue pour...