Dans ce travail, nous avons montré que si $P={\sum }_{i=1}^{n-1}{x}_i^2$, où les $x_i$ sont des champs de vecteurs $C^{\infty }$ linéairement independants dans un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ tels que l’algèbre de Lie qu’ils engendrent soit de rang maximum en tout point et la forme volume qu’on leur associe soit de classe 4 en un point $x_0$ de $\Omega$, alors il existe un voisinage ouvert $V$ de $x_0$ et une fonction $a\in C^{\infty }\left(V\right)$ tels que $P+a$ possède pas la propriété de prolongement unique.

Dj. Kurepa a conjecturé que pour tout nombre premier impair, $p$, la somme ${\sum }_{n=0}^{p-1}n!$ n’est pas divisible par $p$. Cette somme est reliée aux nombres de Bell qui apparaissent en combinatoire énumérative. Nous donnons une expression du $n$-ième nombre de Bell modulo $p$ comme la trace de la puissance $n$-ième d’un élément fixe dans l’extension d’Artin-Schreier de degré $p$ du corps premier à $p$ éléments. Cette expression permet de démontrer la conjecture de Kurepa en la ramenant à un problème d’algèbre linéaire. ...

Carlitz a défini sur ${𝔽}_q$ une fonction $\zeta$ et une série formelle $II$, analogues respectivement à la fonction $\zeta$ de Riemann et au réel $\pi$. Yu a montré, en utilisant les modules de Drinfeld, que $\zeta \left(s\right)/I{I}^3$ est transcendant pour tout $s$ non divisible par $q-1$. Nous donnons ici une preuve «automatique» de la transcendance de $\zeta \left(s\right)/I{I}^3$ pour $1\le s\le q-2$, en utilisant le théorème de Christol, Kamae, Mendès France et Rauzy.

Pour majorer la somme d’exponentielle $$\sum _{m=M+1}^{2M}e\left(TF(m/M)\right),$$ où $F:$ [1,2] $\to ℝ$ est une fonction “presque monomiale”, $M$ est une entier grand et $T$ un réel grand devant $M^4$, nous étudions le procédé $A^{k}BAD,\text{où}A\text{et}B$ désignent comme d’habitude les transformations $A\text{et}B$ de Van der Corput [2], et où $D$ désigne le double grand crible appliqué dans l’esprit de Fouvry et Iwaniec [1]. Nos résultats complètent le tableau 17.1 de [5] (voir également [4]) et sont résumés dans le corollaire 2 ci-dessous.

Soient $P\left(\underset{\_}{x}\right)=P(x_1,...,x_n)$ et $Q\left(\underset{\_}{x}\right)=Q(x_1,...,x_n)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant : $$\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{\left|\underset{\_}{x}\right|\to +\infty }{x_1,...,x_n\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underset{\_}{x}\right)}{Q\left(\underset{\_}{x}\right)}=+\infty .$$ Soient $\underset{\_}{\eta }=({\eta }_1,...,{\eta }_n)\in {\mathbf{N}}^n$ et $R=P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z(R,\underset{\_}{\eta };s)={\sum }_{{\eta }_1,...,{\eta }_n=1}^{\infty }{\underset{\_}{\eta }}^{\underset{\_}{\eta }}R(\underset{\_}{\eta }{)}^{-s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s\mapsto Z(R,\underset{\_}{\eta };s)$ qui ne dépend que de $\underset{\_}{\eta }$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.

Dans cet article nous donnons une formule pour les coefficients de l’inverse des matrices de Toeplitz respectivement de symboles $f\left(e^{i\theta }\right)=(1-cos\theta ){\left|f_1\left(e^{i\theta }\right)\right|}^2$ (cas singulier) et $|f_1\left(e^{i\theta }\right){|}^2$ (cas régulier) où $f_1$ est une fonction appartenant à  une classe de fonctions holomorphes sur un disque ouvert contenant le tore $𝕋$ et sans zéro sur $𝕋$. Un cas particulier défini par $f_1=\frac{Q}{P}$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes sans zéro sur $𝕋$ est traité. Dans le cas où le symbole est singulier, cette formule présente l’intérêt d’avoir un second ordre....

Nous étudions les fonctions $p$-adiques associées à des séries du type $$Z(P,Q,\xi )\left(s\right)=\sum _{n\in {\mathbf{N}}^r}Q\left(n\right){\xi }^{n}P(n{)}^{-s}$$ dans certains cas, où elles admettent un prolongement méromorphe à $C$ avec un nombre fini de pôles et des valeurs aux entiers négatifs algébriques. On retrouve comme cas particulier les fonctions $L$ $p$-adiques des corps totalement réels et les fonctions $\Gamma$-multiples $p$-adiques.