La conjecture de Green générique

Arnaud Beauville

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Genres de Todd et valeurs aux entiers des dérivées de fonctions $L$

Christophe Soulé (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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La géométrie d’Arakelov étudie les fibrés vectoriels sur une variété algébrique $X$ définie sur les entiers, munis d’une métrique hermitienne lisse sur le fibré holomorphe associé (sur la variété analytique des points complexes de $X$ ). Un théorème de “Riemann-Roch arithmétique” calcule le covolume du réseau euclidien des sections globales d’un tel fibré. Dans cette formule, le genre de Todd comporte un terme complémentaire, défini par une série formelle dont les coefficients font intervenir...

Correspondances de Hecke, action de Galois et la conjecture d’André–Oort

Rutger Noot (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Soient $M$ une variété de Shimura, $Z \subset M$ fermée et irréductible et $S \subset Z (ℂ)$ un ensemble Zariski dense de points spéciaux. Selon la conjecture d’André–Oort, $Z$ est une sous-variété de type Hodge. Par exemple, si $M$ est un espace de modules de variétés abéliennes, $S$ est un ensemble de points correspondant à des variétés de type CM et $Z$ doit paramétrer des variétés abéliennes munies de certaines classes de Hodge. En utilisant les actions de l’algèbre de Hecke et du groupe de Galois, Edixhoven et Yafaev...

Classes de cohomologie positives dans les variétés kählériennes compactes

Olivier Debarre (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Étant donnée une variété kählérienne compacte $X$ , on étudie dans l’espace vectoriel réel de cohomologie de Dolbeault $H^{1, 1} (X, 𝐑) \subset H^{2} (X, 𝐑)$ le cône convexe des classes de Kähler ainsi que celui, plus grand, des classes de courants positifs fermés de type $(1, 1)$ . Lorsque $X$ est projective, les traces de ces cônes sur l’espace de Néron–Severi $NS {(X)}_{𝐑} \subset H^{1, 1} (X, 𝐑)$ engendré par les classes entières sont respectivement le cône des classes de diviseurs amples et l’adhérence de celui des classes de diviseurs effectifs.

Compactification de l’espace des modules des variétés abéliennes principalement polarisées

Michel Brion (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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Les variétés abéliennes principalement polarisées admettent un espace des modules grossier qu’on sait compactifier de plusieurs façons (compactification de Satake, compactifications toroïdales). Cependant, le problème s’est posé de construire une compactification “modulaire”en termes d’objets géométriques qui permettent de décrire les points du bord. On souhaite aussi compactifier l’application de Torelli qui à chaque courbe algébrique, projective et lisse, associe sa jacobienne. L’exposé...

Inversion des matrices de Toeplitz dont le symbole admet un zéro d’ordre rationnel positif, valeur propre minimale

Philippe Rambour, Abdellatif Seghier (2012)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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Cet article présente trois résultats distincts. Dans une première partie nous donnons l’asymptotique quand $N$ tend vers l’infini des coefficients des polynômes orthogonaux de degré $N$ associés au poids $ϕ_{α} (θ) = {| 1 - e^{i θ} |}^{2 α} f_{1} (e^{i θ})$ , où $f_{1}$ est une fonction strictement positive suffisamment régulière et $α > \frac{1}{2}, α \in ℝ ∖ ℕ$ . Nous en déduisons l’asymptotique des éléments de l’inverse de la matrice de Toeplitz $T_{N} (ϕ_{α})$ au moyen d’un noyau intégral $G_{α} .$ Nous prolongeons ensuite un résultat de A. Böttcher et H. Windom relatif à l’asymptotique de la...

Le Bismutien

Gilles Lebeau (2004-2005)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Dans une série de travaux récents, Jean-Michel Bismut a construit un “laplacien hypoelliptique” agissant sur les formes différentielles sur le fibré cotangent $Σ = T^{*} X$ d’une variété riemannienne $X$ . Dans cet exposé, nous présentons quelques propriétés analytiques de ce nouvel opérateur et explicitons le fait qu’il définit une déformation du laplacien de Hodge sur $X$ .

Domaines nodaux et partitions spectrales minimales

Bernard Helffer (2006-2007)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Nous considèrerons principalement le problème de Dirichlet pour le Laplacien dans un domaine borné $Ω$ . Nous nous proposons d’analyser les liens entre les partitions de $Ω$ constituées des domaines nodaux d’une fonction propre de ce laplacien et celles constituées de $k$ ouverts $D_{i}$ qui sont minimales en ce sens qu’elles minimisent (pour $k$ fixé) le maximum sur les $D_{i}$ de la plus petite valeur propre $λ (D_{i})$ de la réalisation de Dirichlet du laplacien dans $D_{i}$ . La plupart des résultats s’étendent...

Détermination d’un champ de jauge sur $ℝ^{d}$ par sa transformée de Radon non-Abélienne

Roman G. Novikov (2003-2004)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Dans cet exposé nous présentons plusieurs résultats récents sur le problème de la détermination d’un champ de jauge sur $ℝ^{d}$ par sa transformée de Radon non-Abélienne le long de droites orientées. Cet exposé est basé en premier lieu sur le travail [R.Novikov, On determination of a gauge field on $ℝ^{d}$ from its non-abelian Radon transform along oriented straight lines, Journal of the Inst. of Math. Jussieu (2002) (4), 559-629].