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Espaces analytiques p -adiques au sens de Berkovich

Antoine Ducros (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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Il y a une quinzaine d’années, Berkovich a proposé une nouvelle approche de la géométrie analytique sur un corps ultramétrique complet. Elle fournit, contrairement aux précédentes, des espaces localement compacts et localement connexes par arcs. Elle s’est révélée particulièrement fructueuse pour l’étude d’une grande variété de questions ; citons par exemple les cycles évanescents ou quelques analogues p -adiques de théories classiques : potentiel, dessins d’enfants, intégration le long...

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer 𝐩 -adique

Pierre Colmez (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l’ordre r du zéro en s = 1 de la fonction L d’une courbe elliptique E définie sur 𝐐 est égal au rang r du groupe de ses points rationnels. On sait démontrer cette conjecture si r = 0 ou 1 , mais on n’a aucun résultat reliant r et r si r 2 . Nous expliquerons comment Kato démontre que la fonction L p -adique attachée à E a, en s = 1 , un zéro d’ordre supérieur ou égal à r .

Motifs de dimension finie

Yves André (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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On sait que les groupes de Chow d’une variété projective ne sont pas de type fini, et ne peuvent même être paramétrés par une variété algébrique, en général. Pourtant, S.-I. Kimura et P. O’Sullivan ont conjecturé (indépendamment l’un de l’autre) que les motifs de Chow, définis en termes de correspondances algébriques modulo l’équivalence rationnelle, sont de “dimension finie”au sens où, tout comme les super-fibrés vectoriels, ils sont somme d’un facteur dont une puissance extérieure...

Lemme fondamental et endoscopie, une approche géométrique

Jean-François Dat (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Le “principe de fonctorialité”, conjecturé par Langlands à la fin des années 60, est un moyen remarquablement synthétique d’unifier et exprimer certains liens profonds entre formes automorphes, arithmétique et géométrie algébrique. Son apparente simplicité contraste fortement avec la difficulté des techniques utilisées pour l’aborder. Parmi celles-ci, la stabilisation de la formule des traces d’Arthur–Selberg bute depuis 25 ans sur une conjecture d’analyse harmonique sur des groupes...

La conjecture de modularité de Serre : le cas de conducteur 1

Jean-Pierre Wintenberger (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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La conjecture dit qu’une représentation continue irréductible impaire du groupe de Galois de  Q dans un espace vectoriel de dimension  2 sur un corps fini F de caractéristique  p provient d’une forme modulaire. C. Khare vient de la prouver pour les représentations qui sont non ramifiées hors de  p .

Correspondances de Hecke, action de Galois et la conjecture d’André–Oort

Rutger Noot (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Soient M une variété de Shimura, Z M fermée et irréductible et S Z ( ) un ensemble Zariski dense de points spéciaux. Selon la conjecture d’André–Oort, Z est une sous-variété de type Hodge. Par exemple, si M est un espace de modules de variétés abéliennes, S est un ensemble de points correspondant à des variétés de type CM et Z doit paramétrer des variétés abéliennes munies de certaines classes de Hodge. En utilisant les actions de l’algèbre de Hecke et du groupe de Galois, Edixhoven et Yafaev...

Catégories dérivées et géométrie birationnelle

Raphaël Rouquier (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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À l’origine conçue comme un outil technique, la catégorie dérivée des faisceaux cohérents d’une variété algébrique est apparue lors de ces dix dernières années comme un invariant important dans l’étude birationnelle des variétés algébriques. Des problèmes d’invariance birationnelle et de minimisation de la catégorie dérivée sont apparus, inspirés par la conjecture homologique de symétrie miroir de Kontsevich et le programme de Mori de modèles minimaux pour les variétés algébriques. Nous...

Une résolution injective des puissances symétriques tordues

Alain Troesch (2005)

Annales de l’institut Fourier

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Dans cet article, on construit une résolution injective explicite des puissances symétriques tordues S * ( j ) dans la catégorie des foncteurs strictement polynomiaux. Cette construction généralise à toute caractéristique la construction donnée par Friedlander et Suslin en caractéristique 2.