Quelques propriétés des fonctions surharmoniques associées à une équation uniformément elliptique de la forme $Lu=-\sum _i{\partial \over \partial x_i}(\sum _j a_{ij}{\partial u\over \partial x_j})=0$

Rose-Marie Hervé

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Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel

Linda Naïm (1957)

Annales de l'institut Fourier

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Le présent travail montre le rôle de la frontière de Martin dans deux questions importantes de la théorie du potentiel : allure à la frontière des fonctions surharmoniques $> 0$ et problème de Dirichlet. On considère essentiellement un “espace de Green” $Ω$ , pourvu par définition d’une fonction de Green $G$ , et dont la réunion avec la frontière de Martin $Δ$ est l’espace de Martin $\hat{Ω}$ . Pour tout point $x_{0} \in Δ$ , on sait que la fonction de Green “normalisée” $\frac{G (x, y)}{G (x, y_{0})} (y \in Ω, y_{0} fixé \in Ω)$ , notée aussi $K (x, y)$ , admet pour $x \to x_{0}$ une...

Fonctions harmoniques et fonctions finement harmoniques

Bent Fuglede (1974)

Annales de l'institut Fourier

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On montre d’abord que toute fonction finement [hyper]harmonique dans un ouvert du plan $R^{2}$ est [hyper]harmonique au sens ordinaire. On utilise pour cela un nouveau principe de minimum pour un domaine borné, $U$ , du plan, avec des limites fines à la frontière, mais sans aucune hypothèse de minoration pour la fonction hyperharmonique donnée, $u$ , dans $U$ . Puis on étend ce dernier principe au cas de $U$ finement ouvert (et borné) et $u$ finement hyperharmonique. Aucun de ces résultats ne s’étend aux...

Majorantes surharmoniques minimales d'une fonction continue

Jean-Jacques Moreau (1971)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $Ω$ , ouvert de $R^{n}$ et $f : Ω \to R$ , continue. On dit qu’une majorante surharmonique de $f$ dans $Ω$ est minimale si cette majorante surharmonique est harmonique dans l’ensemble (ouvert) où elle diffère de $f$ . Beaucoup de propriétés de ces fonctions sont semblables à celles des fonctions harmoniques $\geq 0$ (lesquelles correspondent à $f = 0$ ) ; par exemple la famille entière est uniformément équicontinue dans chaque partie compacte de $Ω$ , relativement à la structure uniforme de $\overline{R}$ . On traite le problème de Dirichlet :...

Les fonctions surharmoniques dans l'axiomatique de M. Brelot associées à un opérateur elliptique dégénéré

Michel Hervé, Rose-Marie Hervé (1972)

Annales de l'institut Fourier

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Soit l’opérateur elliptique dégénéré $L$ , du type considéré par J.-M. Bony dans ses travaux récents (par ex. Conférences du C.I.M.E., Stresa, juillet 1969), tel que le faisceau associé de fonctions harmoniques vérifie les axiomes de Brelot : on montre que les fonctions surharmoniques associées $u$ sont localement intégrables et caractérisées par $L u \leq 0$ , et que les potentiels à support ponctuel donné sont proportionnels.

Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus

Rose-Marie Hervé, Michel Hervé (1969)

Annales de l'institut Fourier

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On étend aux solutions et sursolutions locales d’une équation elliptique de la forme $- \sum_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + (\sum_{j} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + d_{j} u) + \sum_{i} b_{i} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} + c u = 0$ les propriétés démontrées dans le cas $d_{i} = b_{i} = c = 0$ : les solutions locales forment un système de fonctions harmoniques satisfaisant à l’axiomatique de M. Brelot, les fonctions surharmoniques coïncidant p.p. avec les sursolutions locales ; un principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques majorées par une fonction $ϵ W_{0}^{1, 2}$ ; la stabilité par balayage sur un ensemble quelconque des fonctions...

Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel

Rose-Marie Hervé (1962)

Annales de l'institut Fourier

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Ces recherches prolongent l’axiomatique des fonctions harmoniques de M. Brelot. Dans un espace $Ω$ localement compact, connexe et localement connexe, qu’on supposera le plus souvent à base dénombrable, les fonctions harmoniques satisfont à trois axiomes : le 1er est un axiome de faisceau ; le 2e pose l’existence d’une base de la topologie formée de domaines réguliers, c’est-à-dire pour lesquels le problème de Dirichlet admet une solution unique, croissant avec la donnée ; le...

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Sur le rôle de la frontière de R. S. Martin dans la théorie du potentiel

Fonctions harmoniques et fonctions finement harmoniques

Majorantes surharmoniques minimales d'une fonction continue

Les fonctions surharmoniques dans l'axiomatique de M. Brelot associées à un opérateur elliptique dégénéré

Les fonctions surharmoniques associées à un opérateur elliptique du second ordre à coefficients discontinus

Recherches axiomatiques sur la théorie des fonctions surharmoniques et du potentiel

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