On considère un système semi-linéaire du premier ordre de taille $2\times 2$ dans un ouvert de ${ℝ}^n$, une hypersurface $S$ non caractéristique et une hypersurface $\Gamma$ de $S$. On suppose que, par $\Gamma$, passent deux hypersurfaces caractéristiques ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ transverses et que les bicaractéristiqiues sur ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ sont transverses à $\Gamma$. Soit $u$ une solution dans une demi-région $\Omega$ délimitée par $\sigma$. On suppose que $u$ est la restriction à $\Omega$ d’une distribution conormale par morceaux par rapport à ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$. Pour le problème de Cauchy,...

La sous-algèbre fermée des fonctions radiales de $\mathbf{F}{l}^1(R^n)$ est une algèbre de fonctions sur ${\mathbf{R}}^{+}$ qui coïncide, sur tout compact de $]0,+\infty [$, avec l’algèbre transformée de Fourier des fonctions sur $\mathbf{R}$ sommables avec le poids $(1+|x|{)}^{\frac{n-1}{2}}$.

Étant donné un semi-flot mesurable $({\theta }_x{)}_{x\in {ℝ}_{+}^d}$ préservant une mesure de probabilité $\mu$ sur un espace $\Omega$, nous considérons les moyennes ergodiques $t^{-d}{\int }_{{ℝ}_{+}^d}\varphi (x/t)f\circ {\theta }_{x}dx$ où $\varphi$ est un “poids” à support compact sur ${ℝ}_{+}^d$, c’est-à-dire que $\varphi$ vérifie $\varphi \ge 0$ et $\int \varphi \left(x\right)dx=1$. Nous démontrons la convergence p.p. de ces moyennes quand $t\to +\infty$ si $f$ appartient à l’espace de Lorentz défini par le poids ${\varphi }^{*}$ qui est le réarrangé décroissant de $\varphi$. En particulier, pour $d=1$, on obtient la convergence p.p. des moyennes de Césarò d’ordre $\alpha$ $\alpha t^{-\alpha }{\int }_0^t(t-x{)}^{\alpha -1}f\circ {\theta }_{x}dx,$ ...

Nous montrons principalement que, si $f\ge 0$ est une fonction différentiable sur un intervalle $[0,T]$, si sa dérivée est höldérienne d’ordre $\alpha$ avec $0\<\alpha \le 1$ et si $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$ (resp. $f^{\text{'}}\left(T\right)=0)$ quand $f\left(0\right)=0$ (resp. $f\left(T\right)=0)$ alors $f^{1/(1+\alpha )}$, qui est absolument continue, admet (presque partout) une dérivée bornée presque partout.

$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement en fraction continue de $\alpha$. La suite $\left(xs\right(n)+y{\alpha }_{\alpha }(n){)}_{n\in \mathbf{N}}$ est équirépartie modulo 1 si et seulement si $x$ ou $y$ est irrationnel.

Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K\left[\right[X,T\left]\right]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K\left[\right[Y,T\left]\right]$ conduit naturellement à étudier l’application $U\left(T\right)\to \left(U\right(T){)}^X$, $U\left(T\right)$ étant une unité de l’algèbre $K\left[\right[T\left]\right]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n$, $\left(H_n\right(X\left)\right)$ étant une suite de $K\left[X\right]$ vérifiant les “identités multinomiales” : $$\left(\mu \right)H_n(X_1+...+X_k)=\sum _{{\alpha }_1+...+{\alpha }_k=n}{H}_{{\alpha }_1}(X_1)...H_{{\alpha }_k}(X_k\left)\right(n,k\ge 0).$$ Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$\left(K\right)\>0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites...