Soit $f(x,y)$ une fonction sous-analytique de ${\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^m$ à valeurs dans ${\mathbf{R}}^{+}.$ Nous montrons que l’intégrale ${\int }_{{\mathbf{R}}^m}f(x,y)dy$ est une fonction log-analytique de $x.$ Nous en déduisons que le volume $k$-dimensionnel des éléments $Y_x$ d’une famille sous-analytique de sous-ensembles sous-analytiques globaux de l’espace euclidien ${\mathbf{R}}^m$ est une fonction log-analytique de $x.$ Un corollaire de ce résultat est le caractère log-analytique de la fonction densité $k$-dimensionnelle d’un sous-analytique global de dimension $k$ en tout point de sa fermeture...

Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P\left(x\right)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N\left(x\right)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. En posant $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)$, la condition de Beurling est $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ avec $a\>\frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec...

Un domaine $\Omega$ simplement connexe est dit régulier s’il vérifie la condition suivante : il existe $\exists \mathbf{C}\>0,\forall z_0\in \mathbf{C},\forall r\>0,{𝒦}^1(\partial \Omega \cap \{|z-z_0|\<r\})\le Cr,$ où ${\mathscr{H}}^1$ désigne la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle. On appelle $X$ l’ensemble des couples ($\Phi$,$\Omega )$, où $\Omega$ est un domaine régulier, et $\Phi$ une représentation conforme de ${\mathbf{R}}_{+}^2$ sur $\Omega$. $X_0$ est l’ensemble des ($\Phi$,$\Omega )$ appartenant à $X$ tels que $\Omega$ soit un domaine de Lavrentiev. On pose $$\widetilde{𝒟}=\{log{\Phi }^{\text{'}};(\Phi ,\Omega )\in X\}\text{et}\widetilde{ℒ}=\{Log{\Phi }^{\text{'}};(\Phi ,\Omega )\in X_0\}.$$ Nous montrons que $\widetilde{𝒟}$ est inclus dans $BMOA\left({\mathbf{R}}_{+}^2\right)$ et que $\widetilde{ℒ}$ est l’intérieur de $\widetilde{𝒟}$ dans cet espace. Nous montrons de...

Soient $G$ une variété de groupe définie sur le corps $\bar{\mathbf{Q}}$ des nombres algébriques, et $\phi :{\mathbf{C}}^n\to G_{\mathbf{C}}$ un sous-groupe à $n$ paramètres de $G$, de dimension algébrique $d$. Nous nous proposons de majorer le rang $\ell$ (sur $\mathbf{Z}$) des sous-groupes $\Gamma$ de ${\mathbf{C}}^n$ dont l’image par $\phi$ est contenue dans le groupe $G_{\bar{\mathbf{Q}}}$ des points algébriques de $G$. E. Bombieri et S. Lang ont déjà obtenu de telles majorations, en supposant que les points de $\Gamma$ sont très bien distribués : pour $d\ge n+1$, on a $\ell \le n^2+3n$ pour des variétés linéaires, et $\ell \le 2n^2+4n$ pour des...

Pour $q\in ℂ$, $\left|q\right|\<1$, on définit la $q$-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ${\displaystyle {\zeta }_q\left(k\right)=\sum _{n\ge 1}{\sigma }_{k-1}\left(n\right)q^n=\sum _{n\ge 1}\frac{n^{k-1}{q}^n}{1-q^n}}$. Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de $q$. La première concerne l’indépendance linéaire sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(k\right)$, pour $k\ge 1$, et la seconde l’indépendance algébrique sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(2\right),{\zeta }_q\left(4\right),{\zeta }_q\left(6\right)$, et des fonctions ${\zeta }_q(2k+1)$, $k\ge 0$. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde. Dans cet article, nous considérons...

Nous étudions les résonances de Rayleigh créées par un obstacle strictement convexe à bord analytique en dimension 2. Nous montrons qu’il existe exactement deux suites de résonances $\left(z_{k,+}\right)$ et $\left(z_{k,-}\right)$ convergeant exponentiellement vite vers l’axe réel dans un voisinage polynomial de l’axe réel, et exponentiellement proches d’une suite de quasimodes réels. De plus, $k^{-1}\Re z_{k,\pm }$ est un symbole analytique d’ordre 0 en la variable $k^{-1}$ dont on donne le premier terme du développement. Nous construisons pour cela des...

Let [0;a₁(x),a₂(x),…] be the regular continued fraction expansion of an irrational x ∈ [0,1]. We prove mainly that, for α > 0, β ≥ 0 and for almost all x ∈ [0,1], $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\alpha /log2$ if α < 1 and β ≥ 0, $li{m}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$ if α = 1 and β < 1, and, if α > 1 or α = 1 and β >1, $lim in{f}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=1/log2$, $lim su{p}_{n\to \infty }(aⁿ₁\left(x\right)+\dots +aⁿₙ\left(x\right))/nlogn=\infty$, where $a{ⁿ}_i\left(x\right)=a_i\left(x\right)$ if $a_i\left(x\right)\le n^{\alpha }lo{g}^{\beta }n$ and $a{ⁿ}_i\left(x\right)=0$ otherwise, for all i ∈ 1,…,n.