Nous montrons que pour tout rationnel $\alpha$ de $[-1,1]$, l’ensemble des valeurs des polylogarithmes $\left\{{\mathrm{Li}}_s\left(\alpha \right),s\in \mathbb{N},s\ge 1\right\}$ contient une infinité de nombres $\mathbb{Q}$-linéairement indépendants.

Pour majorer la somme d’exponentielle $$\sum _{m=M+1}^{2M}e\left(TF(m/M)\right),$$ où $F:$ [1,2] $\to ℝ$ est une fonction “presque monomiale”, $M$ est une entier grand et $T$ un réel grand devant $M^4$, nous étudions le procédé $A^{k}BAD,\text{où}A\text{et}B$ désignent comme d’habitude les transformations $A\text{et}B$ de Van der Corput [2], et où $D$ désigne le double grand crible appliqué dans l’esprit de Fouvry et Iwaniec [1]. Nos résultats complètent le tableau 17.1 de [5] (voir également [4]) et sont résumés dans le corollaire 2 ci-dessous.

Soient $P\left(\underset{\_}{x}\right)=P(x_1,...,x_n)$ et $Q\left(\underset{\_}{x}\right)=Q(x_1,...,x_n)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant : $$\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{\left|\underset{\_}{x}\right|\to +\infty }{x_1,...,x_n\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underset{\_}{x}\right)}{Q\left(\underset{\_}{x}\right)}=+\infty .$$ Soient $\underset{\_}{\eta }=({\eta }_1,...,{\eta }_n)\in {\mathbf{N}}^n$ et $R=P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z(R,\underset{\_}{\eta };s)={\sum }_{{\eta }_1,...,{\eta }_n=1}^{\infty }{\underset{\_}{\eta }}^{\underset{\_}{\eta }}R(\underset{\_}{\eta }{)}^{-s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s\mapsto Z(R,\underset{\_}{\eta };s)$ qui ne dépend que de $\underset{\_}{\eta }$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.

On considère un opérateur $L$ défini par $$Lu=\sum _{i=1}^n{D}_i{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)-\sum _{k=1}^N{D}_t[{\alpha }_{p,k}{u}_k]$$ où $u$ est une application de $\bar{\Omega }\times [0,T]$ dans ${\mathbf{R}}^N$ ($\Omega$ ouvert quelconque de $R^n$), ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ $(1\le i\le n;1\le p\le N)$ sont des opérateurs du premier ordre ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)={\sum }_{j,k}{a}_{ijk}^p{D}_j{u}_k$ dans le cas linéaire), ${\alpha }_{pk}$ et $a_{ijk}^p$ sont des fonctions non nécessairement bornées de $\bar{\Omega }\times [0,T]$. On démontre, sous certaines hypothèses, que les solutions de $-2uLu\le c_1{u}^2+\mu {\sum }_{i,p}{D}_i{u}_p.{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ ($c_1$ fonction de $\bar{\Omega }\times [0,T]$, $\mu$ constante positive inférieure à 2), vérifient : $t\to {\int }_{\Omega }{\Phi }^2{\alpha }_{p,k}{u}_p.u_{k}dx$ est décroissante (${\Phi }^2$ fonction poids convenablement choisie). De ce résultat, on obtient...

Soit $\left\{{\phi }_{\nu }\right(x\left)\right\}$ une suite orthonormale dans l’intervalle $(-\infty \<a\le x\le b\<\infty )$. L’auteur démontre, que ${\sum }_{\nu =1}^N\left(1-\frac{\nu -1}{N}\right){\phi }_{\nu }\left(x\right)=0\left(N^{\frac{1}{2}}(logN{)}^{\frac{1}{2}+ϵ}\right)$ pour tout $ϵ\>0$ et presque partout dans $a\le x\le b$. La démonstration est basée sur un théorème de MM. Gál et Koksma et on peut généraliser aussi pour le cas $-\infty \le x\le \infty$ (théorème auxiliaire). En utilisant ce théorème auxiliaire on obtient tout de suite l’estimation connue pour les fonctions de Lebesgue (théorème 2) [voir Kaczmarcz et Steinhaus, Theorie der Orthogonalreihen, Warszawa, 1935, 577].

Étant donné un ensemble analytique $S$ de codimension $\ge 2$ dans ${\mathbf{C}}^n$, nous construisons des hypersurfaces irréductibles de lieu singulier $S$, avec contrôle de la croissance. À partir d’un contre-exemple au problème de Bezout transcendant, dû à M. Cornalba et B. Shiffman, nous montrons l’existence d’une courbe irréductible d’ordre 0 dans ${\mathbf{C}}^2$, dont le lieu singulier est d’ordre infini. Nous étudions également en application certaines propriétés arithmétiques de l’anneau de convolution ${ℰ}^{\text{'}}({\mathbf{R}}^n).$ ...

Soient $K$ un corps de nombres de degré $n$ sur le corps des nombres rationnels $\mathbf{Q}$, $v$ une place de $K$. Nous démontrons que pour presque tout couple $(\alpha ,\beta )\in K\times \mathbf{Q}$, avec $\alpha \ne \beta$, on a $|\alpha -\beta |\>H\left(\alpha {)}^{-2n\sqrt{n}}H\right(\beta {)}^{-4\sqrt{n}}$, où $H(·)$ désigne la hauteur de Weil absolue. Un résultat semblable vaut quand le corps des approximants $\mathbf{Q}$ est remplacé par un corps de nombres quelconque.