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Sur les nombres premiers généralisés de Beurling. Preuve d'une conjecture de Bateman et Diamond

Jean-Pierre Kahane (1997)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit P une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte ] 1 , [ , et N le semi-groupe unitaire engendré par P . Les éléments de P s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de N entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées P ( x ) et N ( x ). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur N ( x ) qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” P ( x ) x / log x ( x ) . En posant N ( x ) = D x + x ϵ ( x ) , la condition de Beurling est ϵ ( x ) = O ( ( log x ) - a ) avec a > 3 2 , et il y a un contre-exemple avec...

Loi de répartition moyenne des diviseurs des entiers friables

Joseph Basquin (2014)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

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In this paper we consider an extension to friable integers of the arcsine law for the mean distribution of the divisors of integers, originally due to Deshouillers, Dress and Tenenbaum. We describe the limit law and show that it departs from the arcsine law when the friability parameter u : = log x / log y increases. More precisely, as u , the mean distribution shifts from the arcsine law towards Gaussian behaviour.

Solutions entières de l’équation Y m = f ( X )

Dimitrios Poulakis (1991)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit K un corps de nombres. Dans ce travail nous calculons des majorants effectifs pour la taille des solutions en entiers algébriques de K des équations, Y 2 = f ( X ) , où f ( X ) K [ X ] a au moins trois racines d’ordre impair, et Y m = f ( X ) m 3 et f ( X ) K [ X ] a au moins deux racines d’ordre premier à m . On améliore ainsi les estimations connues ([2],[9]) pour les solutions de ces équations en entiers algébriques de K .

Domaines réguliers du plan

Michel Zinsmeister (1985)

Annales de l'institut Fourier

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Un domaine Ω simplement connexe est dit régulier s’il vérifie la condition suivante : il existe C > 0 , z 0 C , r > 0 , 𝒦 1 ( Ω { | z - z 0 | < r } ) C r , 1 désigne la mesure de Hausdorff 1-dimensionnelle. On appelle X l’ensemble des couples ( Φ , Ω ) , où Ω est un domaine régulier, et Φ une représentation conforme de R + 2 sur Ω . X 0 est l’ensemble des ( Φ , Ω ) appartenant à X tels que Ω soit un domaine de Lavrentiev. On pose 𝒟 ˜ = { log Φ ' ; ( Φ , Ω ) X } et ˜ = { L o g Φ ' ; ( Φ , Ω ) X 0 } . Nous montrons que 𝒟 ˜ est inclus dans B M O A ( R + 2 ) et que ˜ est l’intérieur de 𝒟 ˜ dans cet espace. Nous montrons de...

Solution à croissance du second problème de Cousin dans n

Henri Skoda (1971)

Annales de l'institut Fourier

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Étant donné une hypersurface X de n , on majore la croissance des fonctions entières définissant X . On en déduit qu’une fonction méromorphe f dans n s’écrit comme quotient de deux fonctions entières g et h , dont la croissance est liée à celle de  f .

Sur les entiers N pour lesquels il y a beaucoup de groupes abéliens d’ordre N

Jean-Louis Nicolas (1978)

Annales de l'institut Fourier

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Soit a ( n ) le nombre de groupes abéliens d’ordre n . Pour étudier les grandes valeurs prises par a ( n ) , on définit, comme l’a fait Ramanujan pour le nombre de diviseurs de n , les nombres a -hautement composés et a -hautement composés supérieurs. Pour calculer ces derniers nombres, on détermine les sommets de l’enveloppe inférieure convexe de la fonction log P ( n ) P ( n ) est le nombre de partitions de n . Sous l’hypothèse de Riemann, on donne un développement asymptotique de l’ordre maximum de la fonction...

Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction q -dzeta

Jean-Paul Bézivin (2008)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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Pour q , | q | < 1 , on définit la q -analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ζ q ( k ) = n 1 σ k - 1 ( n ) q n = n 1 n k - 1 q n 1 - q n . Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de q . La première concerne l’indépendance linéaire sur ( q ) des fonctions ζ q ( k ) , pour k 1 , et la seconde l’indépendance algébrique sur ( q ) des fonctions ζ q ( 2 ) , ζ q ( 4 ) , ζ q ( 6 ) , et des fonctions ζ q ( 2 k + 1 ) , k 0 . Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde. Dans cet article, nous considérons...