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Étude d'un idéal particulier, d'indice fini dans le carré de l'idéal d'augmentation, associé à un caractère de Dirichlet d'un groupe fini

Hassan Oukhaba, Gilles Robert (1991)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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We describe here two sets of generators of an ideal Δ ( ψ ) = M ( ψ ) , of finite index inside the square I 2 of the augmentation ideal I of ℤ [ G ] , associated to the Dirichlet character ψ of the finite group G . That peculiar ideal first appeared in questions related to the computation of class number formulas for abelian non ramified extensions of 𝒜 -fields cf. [2] and [3], satisfying certain special conditions which are outlined in the introduction of [1]. A rough idea of these formulas is given in §§2 and...

Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré n ℓ s sur un corps de nombres algébriques

Jean-François Jaulent (1981)

Annales de l'institut Fourier

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Soit N une extension cyclique ℓ -primaire d’un corps de nombres K . On suppose que N est métabélienne sur un sous-corps H d’indice n dans K , pour un n étranger à ℓ  ; on note G son groupe de Galois de T un relèvement dans G du quotient Gal ( K / H ) . On étudie la structure galoisienne des groupes de ℓ -classes de N et on s’intéresse en particulier à leurs ψ -composantes, lorsque ψ parcourt le groupe des caractères ℓ -adiques irréductibles de T . Le choix d’un générateur convenable θ dans l’idéal d’augmentation...

Sur l'arithmétique d'une extension diédrale

Anne-Marie Bergé (1972)

Annales de l'institut Fourier

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Étant donnée une extension galoisienne E / Q de groupe de Galois G diédral, on montre que l’anneau B des entiers de E est un Z [ G ] -module isomorphe à l’ordre formé des éléments de Q [ G ] qui transportent B dans lui-même (ordre décrit explicitement suivant la ramification de l’extension E / Q . On a rattaché cette étude à la recherche, pour chaque ordre 𝔇 de Z dans Q [ G ] contenant Z [ G ] , d’invariants caractérisant à un isomorphisme près les modules sur 𝔇 , et qui permettent notamment un calcul du groupe des classes...

Structure galoisienne des anneaux d'entiers d'extensions sauvagement ramifiées. II

Philippe Cassou-Noguès, Jacques Queyrut (1982)

Annales de l'institut Fourier

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Soient G le groupe de Galois d’une extension galoisienne finie, N , d’un corps de nombres K et S un ensemble de places de Q , contenant les places de K sauvagement ramifiées dans N . Nous démontrons, dans de nombreux cas particuliers, une conjecture faite par J. Queyrut dans un article précédent : l’ordre de la classe de l’anneau des entiers de N , dans le sous-groupe de torsion du groupe de Grothendieck des Z [ G ] -module localement libres en dehors de S , est égal à 1 ou 2, selon le signe des...

Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques

Jean Cougnard (1982)

Annales de l'institut Fourier

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Soit N / Q une extension galoisienne à groupe de Galois métacyclique G d’ordre n p a ( n divisant p - 1 et a ≥ 1 ) possédant un sous-groupe distingué d’ordre p a . On note N 1 l’unique sous-corps de N de degré n p a - 1 sur Q , O N (resp. O N 1 ) le clôture intégrale de Z dans N (resp. N 1 ) et v l’opérateur trace dans l’extension N / N 1 . On démontre que O N / O N 1 est un module localement libre sur l’anneau A = Z [ G ] / v . On montre ensuite que l’idéal engendré par les résolvantes de Fröhlich associées à un caractère fidèle absolument irréductible de...