Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré $n\ell ^s$ sur un corps de nombres algébriques

Jean-François Jaulent

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Classes et unités des extensions cycliques réelles de degré 4 de $𝐐$

Marie-Nicole Gras (1979)

Annales de l'institut Fourier

Similarity:

Soit $K$ une extension cyclique réelle de degré 4 de $Q$ de sous-corps quadratique $k$ . Nous déterminons le nombre de classes et les unités de $K$ puis nous montrons que le problème de la “capitulation” de classes de $k$ dans $K$ est caractérisé par des propriétés élémentaires des unités de $K$ . Nous avons obtenu une table numérique du nombre de classes, des unités ainsi que de l’éventuelle “capitulation” d’une classe, pour tous les corps $K$ de conducteur $f < 4000$ ; nous en publions ici un extrait. ...

Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier

Georges Gras (1993)

Annales de l'institut Fourier

Similarity:

Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F : ℚ]$ , un système de générateurs du $p$ -groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$ , ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_{1} (ψ^{- 1})$ . Des exemples numériques sont donnés pour $p = 3$ et $p = 5$ , dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$ -groupe des classes possédant une $χ$ -composante non monogène (pour...

Descente et parallélogramme galoisiens

Richard Massy, Sylvie Monier-Derviaux (1999)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit $p$ un nombre premier impair. Soit $D / J$ une $p$ -extension galoisienne de corps ne contenant pas les racines $p$ -ièmes de l’unité : $J \cap μ_{p} = \{1\}$ . Notons $G$ le groupe de Galois de $D / J$ et $Φ (G)$ son sous-groupe de Frattini. Via une notion de descente galoisienne et les parallélogrammes galoisiens qu’elle induit, nous construisons ici toutes les extensions $D / J$ telles que $Φ (G)$ soit d’ordre $p$ .

Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques

Jean Cougnard (1982)

Annales de l'institut Fourier

Similarity:

Soit $N / Q$ une extension galoisienne à groupe de Galois métacyclique $G$ d’ordre $n p^{a}$ ( $n$ divisant $p - 1$ et $a \geq 1$ ) possédant un sous-groupe distingué d’ordre $p^{a}$ . On note $N_{1}$ l’unique sous-corps de $N$ de degré $n p^{a - 1}$ sur $Q$ , $O_{N}$ (resp. $O_{N_{1}}$ ) le clôture intégrale de $Z$ dans $N$ (resp. $N_{1}$ ) et $v$ l’opérateur trace dans l’extension $N / N_{1}$ . On démontre que $O_{N} / O_{N_{1}}$ est un module localement libre sur l’anneau $A = Z [G] / v$ . On montre ensuite que l’idéal engendré par les résolvantes de Fröhlich associées à un caractère fidèle absolument irréductible de...

Décomposition du Galois-module des entiers d’une extension diédrale de degré $2 p$ d’un corps local d’un corps de nombres

Marie-Josée Ferton (1980-1981)

Séminaire de théorie des nombres de Grenoble

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Sur l’existence des corps biquadratiques $K$ dont le groupe de Galois du deuxième $2$ -corps de classes de Hilbert par rapport à $K$ est semi-diédral

Abdelmalek Azizi, Ali Mouhib (2005)

Archivum Mathematicum

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Let $K$ be a biquadratic field, $K_{2}^{(1)}$ be the Hilbert $2$ -class field of $K$ and $K_{2}^{(2)}$ be the Hilbert $2$ -class field of $K_{2}^{(1)}$ . Our goal is to prove that there exists a biquadratic field $K$ such that $Gal (K_{2}^{(1)} / K) ≃ ℤ / 2 ℤ \times ℤ / 2 ℤ$ and the group $Gal (K_{2}^{(2)} / K)$ is semi-dihedral. Résumé. Soient $K$ un corps biquadratique, $K_{2}^{(1)}$ le $2$ -corps de classes de Hilbert de $K$ et $K_{2}^{(2)}$ le $2$ -corps de classes de Hilbert de $K_{2}^{(1)}$ . Notre but est de prouver qu’il existe des corps biquadratiques réels $K$ tels que le groupe $Gal (K_{2}^{(1)} / K)$ est de type $(2, 2)$ et le groupe $Gal (K_{2}^{(2)} / K)$ est semi-diédral.

Décomposition du Galois-module des entiers d’une $p$ -extension cyclique d’un corps local

Françoise Bertrandias (1977-1978)

Séminaire de théorie des nombres de Grenoble

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Annulation du groupe des $ℓ$ -classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $ℓ$

Georges Gras (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $ℓ$ un nombre premier impair. Soit $K$ une extension abélienne réelle de $Q$ de degré premier à $ℓ$ et soit $G$ son groupe de Galois; soit $φ$ ( $φ \neq 1$ ) un caractère $ℓ$ -adique irréductible de $K$ . Soit $M$ la $ℓ$ -extension abélienne maximale de $K$ non ramifiée en dehors de $ℓ$ et soit $𝒜$ le $Z_{ℓ} [G]$ -module Gal $(M / K)$ ; $𝒜^{φ}$ (la $φ$ -composante de $𝒜$ ) est un module fini sur l’anneau des entiers $Z_{ℓ}^{ψ^{'}}$ de $Q_{ℓ}^{ψ^{'}}$ (corps des valeurs sur $Q_{ℓ}$ d’un caractère $ψ^{'}$ de degré 1 divisant $φ$ ). On construit explicitement pour tout $n \geq 0$ un élément $𝒮_{n}$ de $Z_{ℓ}^{ψ^{'}}$ qui annule...

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