On considère un système semi-linéaire du premier ordre de taille $2\times 2$ dans un ouvert de ${ℝ}^n$, une hypersurface $S$ non caractéristique et une hypersurface $\Gamma$ de $S$. On suppose que, par $\Gamma$, passent deux hypersurfaces caractéristiques ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ transverses et que les bicaractéristiqiues sur ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ sont transverses à $\Gamma$. Soit $u$ une solution dans une demi-région $\Omega$ délimitée par $\sigma$. On suppose que $u$ est la restriction à $\Omega$ d’une distribution conormale par morceaux par rapport à ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$. Pour le problème de Cauchy,...

On étudie les systèmes différentiels singulièrement perturbés de dimension 3 du type $$\{\begin{array}{ccc}\dot{x}\hfill & =& f(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \dot{y}\hfill & =& g(x,y,z,\epsilon ),\hfill \\ \epsilon \dot{z}\hfill & =& h(x,y,z,\epsilon ),\hfill \end{array}$$ où $f$, $g$, $h$ sont analytiques quelconques. Les travaux antérieurs étudiaient les points réguliers où la surface lente $h=0$ est transverse au champ rapide vertical. C’est le domaine d’application du théorème de Tikhonov. Dans d’autres travaux antérieurs, on étudiait les singularités de certains types : plis et fronces de la surface lente, ainsi que certaines singularités plus compliquées,...

On considère le problème de Dirichlet : $$(d{d}^{c}u{)}^n=0\mathrm{dans}B$$ et $$u{|}_{\partial B}=\varphi$$ où $B$ désigne la boule unité de ${ℂ}^n.$ Nous donnons une démonstration simple du fait que si $\varphi \in C^{1,1}\left(\partial B\right)$, alors $u\in C^{1,1}\left(B\right)$; de plus la croissance du coefficient de Lipschitz de la différentielle de $u$ est contrôlée par l’inverse de la distance au bord.

Si $f$ est un germe ${𝒞}^{\infty }$ de $({\mathbf{R}}^n,0)$, on dira que $f$ est une (on notera $f\in {\Psi }_{n,m}$) si tous les germes continus $g$ de $(\mathbf{R},0)$ dans $({\mathbf{R}}^m,0)$, tels que $f\circ g\in {𝒞}^{\infty }$ sont eux-mêmes ${𝒞}^{\infty }$. On détermine complètement ${\Psi }_{n,1}$, et on montre que ${\Psi }_{2,2}={\mathrm{Diff}}_2$. Par ailleurs, si $\mathbf{K}=\mathbf{R}$ ou $\mathbf{C}$ et si $g$ est une application de $\mathbf{K}$ dans $\mathbf{K}$ telle que $g^2$ et $g^3$ sont ${𝒞}^{\infty }$, alors $g$ est aussi ${𝒞}^{\infty }$. Si $\mathbf{K}=\mathbf{H}$ (corps des hamiloniens) alors cette implication n’est plus vraie.

Dans cet article, on s’intéresse au problème suivant. Soient $p$ un nombre premier, $S\subset {𝔽}_p$ et $𝒫\subset \{P\in {𝔽}_p\left[X\right]:degP\le d\}$. Quel est le plus grand entier $k$ tel que pour toutes paires de sous-ensembles disjoints $𝒜,ℬ$ de ${𝔽}_p$ vérifiant $|𝒜\cup ℬ|=k$, il existe $P\in 𝒫$ tel que $P\left(x\right)\in S$ si $x\in 𝒜$ et $P\left(x\right)\notin S$ si $x\in ℬ$  ? Ce problème correspond à l’étude de la complexité de certaines familles d’ensembles pseudo-aléatoires. Dans un premier temps, nous rappelons la définition de cette complexité et resituons le contexte des ensembles pseudo-aléatoires. Ensuite, nous exposons...

Cet article posthume extrait de notes ou brouillons par E. Cotton concerne, pour les équations de la forme $$y^{\text{'}\text{'}}+y^{\text{'}}p(x,y,y^{\text{'}})+q(x)\frac{da\left(y\right)}{dy}=f\left(y\right),$$ la solution définie par les conditions initiales $x=x_0$, $y=y_0$, $y^{\text{'}}=0$. Après avoir énoncé des hypothèses concernant les fonctions $p,q,a,f$, l’auteur montre que toute solution qui passe par un minimum pour $x=x_0$, reste supérieure à ce minimum pour $x\>x_0$ et que, dans ces mêmes conditions, $\left|y\right|$ et $\left|y^{\text{'}}\right|$ restent bornés. Enfin, lorsque $p$ a une borne inférieure positive, $y^{\text{'}}$ tend vers zéro avec...