On considère un système semi-linéaire du premier ordre de taille $2\times 2$ dans un ouvert de ${ℝ}^n$, une hypersurface $S$ non caractéristique et une hypersurface $\Gamma$ de $S$. On suppose que, par $\Gamma$, passent deux hypersurfaces caractéristiques ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ transverses et que les bicaractéristiqiues sur ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ sont transverses à $\Gamma$. Soit $u$ une solution dans une demi-région $\Omega$ délimitée par $\sigma$. On suppose que $u$ est la restriction à $\Omega$ d’une distribution conormale par morceaux par rapport à ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$. Pour le problème de Cauchy,...

Soit $K$ un corps commutatif. Chercher une série formelle $S(X,T)\in K\left[\right[X,T\left]\right]$ vérifiant $S(X+Y,T)/S(X,T)\in K\left[\right[Y,T\left]\right]$ conduit naturellement à étudier l’application $U\left(T\right)\to \left(U\right(T){)}^X$, $U\left(T\right)$ étant une unité de l’algèbre $K\left[\right[T\left]\right]$, et à ramener les solutions à la forme $S(X,T)=\sum _{n\ge 0}{H}_n\left(X\right)T^n$, $\left(H_n\right(X\left)\right)$ étant une suite de $K\left[X\right]$ vérifiant les “identités multinomiales” : $$\left(\mu \right)H_n(X_1+...+X_k)=\sum _{{\alpha }_1+...+{\alpha }_k=n}{H}_{{\alpha }_1}(X_1)...H_{{\alpha }_k}(X_k\left)\right(n,k\ge 0).$$ Après mise à l’écart par des lemmes combinatoires du cas caract$\left(K\right)\>0$ (les solutions sont triviales), on caractérise de plusieurs manières les solutions. On peut les faire coïncider avec l’ensemble NW des suites...

Soient $F$ un corps local non archimédien, $N$ un entier $\ge 2$, $\underset{\_}{G}=GL\left(N\right)$, $n$ un entier $\ge 1$ et $\mathscr{H}\left(\underset{\_}{G}\right(F),K_F^n)$ l’algèbre de Hecke de $\underset{\_}{G}\left(F\right)$ relative au sous-groupe de congruence modulo ${𝒫}_F^n$ de $\underset{\_}{G}({𝒪}_F)$. On prouve une formule explicite pour les intégrales orbitales elliptiques des fonctions de $\mathscr{H}\left(\underset{\_}{G}\right(F),K_F^n)$. Grâce à cette formule, pour $\gamma \in \underset{\_}{G}\left(F\right)$ semi-simple régulier, on produit un entier $r=r(\gamma ,n)\ge n$ tel que pour tout corps local non archimédien $F^{\text{'}}$ $r$-proche de $F$ (i.e. tel qu’il existe un isomorphisme d’anneaux ${𝒪}_F/{𝒫}_F^r\simeq {𝒪}_{F^{\text{'}}}/{𝒫}_{F^{\text{'}}}^r$), il existe ${\gamma }^{\text{'}}\in \underset{\_}{G}(F^{\text{'}})$ semi-simple régulier tel...

Soit $\Gamma$ un groupe arithmétique agissant proprement discontinument sur $ℌ\times ℌ$ de covolume fini. On sait que l’espace $\Gamma \setminus ℌ\times ℌ$ est isomorphe à l’ensemble des points complexes d’une variété algébrique quasi-projective $V_{\Gamma }$ définie sur $\overline{\mathbb{Q}}$. Soit $J_{\Gamma }$ : $ℌ\times ℌ\to V_{\Gamma }\left(ℂ\right)$ une application holomorphe invariante par l’action de $\Gamma$ et correctement normalisée. Grâce au résultats obtenus par P. Cohen, H. Shiga et J. Wolfart, on sait que $J_{\Gamma }(z_1,z_2)\notin V_{\Gamma }\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)$ si $z=(z_1,z_2)$ est un point algébrique non spécial de $ℌ\times ℌ$. Dans cet article, nous allons montrer que nous avons...

Nous introduisons une nouvelle définition d’un invariant bi$M$cat pour une algèbre de cochaînes $A$ connexe et 1-connexe, de type fini sur un corps $\mathbf{k}$ de caractéristique quelconque, et nous montrons d’une part, qu’il coïncide avec l’invariant $𝒜$cat introduit par S. Halperin et J.-M. Lemaire et d’autre part, qu’il est invariant par extension de corps et qu’il vérifie la conjecture de Ganéa.

Soit $𝔤$ une algèbre de Lie complètement résoluble sur un corps de caractéristique zéro. Soit $Q$ un idéal $𝔤$-invariant de l’algèbre symétrique de $𝔤$. L’application de Dixmier pour $𝔤$ associe à $Q$ un idéal premier de l’algèbre enveloppante $\mathrm{U}\left(𝔤\right)$ de $𝔤$. Soit $\widehat{\mathrm{A}}\left(𝔤\right)$ l’algèbre des opérateurs différentiels à coefficients séries formelles. Dans l’algèbre $\mathrm{A}\left(𝔤\right)$ des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux, il y a un idéal à gauche ${\Lambda }_{𝔤}^{\text{'}}\left(Q\right)$ qui contient $Q$ et les champs de vecteurs adjoints. Il y a un plongement...

Soient $A$ une algèbre de Banach complexe, $G{L}_{\infty }\left(A\right)$ le groupe général linéaire stable de $A$ et $G{L}_{\infty }^0\left(A\right)$ sa composante connexe pour la topologie normique. Nous montrons que toute trace non nulle $r:A\to \mathbf{C}$ permet de définir un homomorphisme ${\Delta }_r$ de $G{L}_{\infty }^0\left(A\right)$ sur le quotient du groupe additif $\mathbf{C}$ par l’image $\underset{\_}{r}(K_0\left(A\right))$ du groupe de Grothendieck de $A$. Si $A=M_n\left(\mathbf{C}\right)$ (respectivement si $A$ est un facteur fini continu) avec la trace usuelle, alors $\exp \left(i2\pi {\Delta }_r\right)$ est le déterminant usuel (resp. $\exp \left(\mathrm{Re}\right(i2\pi {\Delta }_r\left)\right)$ est celui de Fuglede et Kadison). Dans le cas général, les déterminants...