Étude d'un idéal particulier, d'indice fini dans le carré de l'idéal d'augmentation, associé à un caractère de Dirichlet d'un groupe fini

Hassan Oukhaba; Gilles Robert

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Résidus de puissances et formes quadratiques

Dominique Bernardi (1980)

Annales de l'institut Fourier

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Pour tout entier $q$ et certains entiers $n$ , les nombres premiers $p$ - congrus à 1 modulo $n$ - tels que $q$ soit le résidu d’une puissance $n$ -ième modulo $p$ sont caractérisés par le fait que certains systèmes de $φ (n) / 2$ formes quadratiques à coefficients entiers en $φ (n)$ variables représentent le $φ (n) / 2$ -uplet $(p, 0, 0 ..., 0)$ . La démonstration de ce résultat est accompagnée d’une méthode explicite de construction de ces systèmes.

Décomposition du Galois-module des entiers d'une extension cyclique de degré premier d'un corps de nombres ou d'un corps local

Françoise Bertrandias (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $A$ un anneau de Dedekind, de corps des fractions $K$ , et soit $L$ une extension galoisienne de $K$ , dont le groupe de Galois $G$ est cyclique d’ordre premier. On note $B$ la clôture intégrale de $A$ dans $L$ . Il existe une unique décomposition du $A [G]$ -module $B$ en somme directe de sous-modules indécomposables. On détermine cette décomposition lorsque $K$ est un corps local ou un corps de nombres. Le résultat dépend d’une part des caractères irréductibles de $G$ sur $K$ , d’autre part des nombres de ramification...

Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré $n ℓ^{s}$ sur un corps de nombres algébriques

Jean-François Jaulent (1981)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $N$ une extension cyclique $ℓ$ -primaire d’un corps de nombres $K$ . On suppose que $N$ est métabélienne sur un sous-corps $H$ d’indice $n$ dans $K$ , pour un $n$ étranger à $ℓ$ ; on note $G$ son groupe de Galois de $T$ un relèvement dans $G$ du quotient Gal $(K / H)$ . On étudie la structure galoisienne des groupes de $ℓ$ -classes de $N$ et on s’intéresse en particulier à leurs $ψ$ -composantes, lorsque $ψ$ parcourt le groupe des caractères $ℓ$ -adiques irréductibles de $T$ . Le choix d’un générateur convenable $θ$ dans l’idéal d’augmentation...

Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques

Jean Cougnard (1982)

Annales de l'institut Fourier

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Soit $N / Q$ une extension galoisienne à groupe de Galois métacyclique $G$ d’ordre $n p^{a}$ ( $n$ divisant $p - 1$ et $a \geq 1$ ) possédant un sous-groupe distingué d’ordre $p^{a}$ . On note $N_{1}$ l’unique sous-corps de $N$ de degré $n p^{a - 1}$ sur $Q$ , $O_{N}$ (resp. $O_{N_{1}}$ ) le clôture intégrale de $Z$ dans $N$ (resp. $N_{1}$ ) et $v$ l’opérateur trace dans l’extension $N / N_{1}$ . On démontre que $O_{N} / O_{N_{1}}$ est un module localement libre sur l’anneau $A = Z [G] / v$ . On montre ensuite que l’idéal engendré par les résolvantes de Fröhlich associées à un caractère fidèle absolument irréductible de...

Annulation du groupe des $ℓ$ -classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à $ℓ$

Georges Gras (1979)

Annales de l'institut Fourier

Similarity:

Soit $ℓ$ un nombre premier impair. Soit $K$ une extension abélienne réelle de $Q$ de degré premier à $ℓ$ et soit $G$ son groupe de Galois; soit $φ$ ( $φ \neq 1$ ) un caractère $ℓ$ -adique irréductible de $K$ . Soit $M$ la $ℓ$ -extension abélienne maximale de $K$ non ramifiée en dehors de $ℓ$ et soit $𝒜$ le $Z_{ℓ} [G]$ -module Gal $(M / K)$ ; $𝒜^{φ}$ (la $φ$ -composante de $𝒜$ ) est un module fini sur l’anneau des entiers $Z_{ℓ}^{ψ^{'}}$ de $Q_{ℓ}^{ψ^{'}}$ (corps des valeurs sur $Q_{ℓ}$ d’un caractère $ψ^{'}$ de degré 1 divisant $φ$ ). On construit explicitement pour tout $n \geq 0$ un élément $𝒮_{n}$ de $Z_{ℓ}^{ψ^{'}}$ qui annule...

Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier

Georges Gras (1993)

Annales de l'institut Fourier

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Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout $p$ premier ne divisant pas $[F : ℚ]$ , un système de générateurs du $p$ -groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire $F$ , ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli $B_{1} (ψ^{- 1})$ . Des exemples numériques sont donnés pour $p = 3$ et $p = 5$ , dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de $p$ -groupe des classes possédant une $χ$ -composante non monogène (pour...

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