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Résidus de puissances et formes quadratiques

Dominique Bernardi (1980)

Annales de l'institut Fourier

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Pour tout entier q et certains entiers n , les nombres premiers p - congrus à 1 modulo n - tels que q soit le résidu d’une puissance n -ième modulo p sont caractérisés par le fait que certains systèmes de φ ( n ) / 2 formes quadratiques à coefficients entiers en φ ( n ) variables représentent le φ ( n ) / 2 -uplet ( p , 0 , 0 ... , 0 ) . La démonstration de ce résultat est accompagnée d’une méthode explicite de construction de ces systèmes.

Décomposition du Galois-module des entiers d'une extension cyclique de degré premier d'un corps de nombres ou d'un corps local

Françoise Bertrandias (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Soit A un anneau de Dedekind, de corps des fractions K , et soit L une extension galoisienne de K , dont le groupe de Galois G est cyclique d’ordre premier. On note B la clôture intégrale de A dans L . Il existe une unique décomposition du A [ G ] -module B en somme directe de sous-modules indécomposables. On détermine cette décomposition lorsque K est un corps local ou un corps de nombres. Le résultat dépend d’une part des caractères irréductibles de G sur K , d’autre part des nombres de ramification...

Unités et classes dans les extensions métabéliennes de degré n ℓ s sur un corps de nombres algébriques

Jean-François Jaulent (1981)

Annales de l'institut Fourier

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Soit N une extension cyclique ℓ -primaire d’un corps de nombres K . On suppose que N est métabélienne sur un sous-corps H d’indice n dans K , pour un n étranger à ℓ  ; on note G son groupe de Galois de T un relèvement dans G du quotient Gal ( K / H ) . On étudie la structure galoisienne des groupes de ℓ -classes de N et on s’intéresse en particulier à leurs ψ -composantes, lorsque ψ parcourt le groupe des caractères ℓ -adiques irréductibles de T . Le choix d’un générateur convenable θ dans l’idéal d’augmentation...

Propriétés locales et globales de certaines extensions métacycliques

Jean Cougnard (1982)

Annales de l'institut Fourier

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Soit N / Q une extension galoisienne à groupe de Galois métacyclique G d’ordre n p a ( n divisant p - 1 et a ≥ 1 ) possédant un sous-groupe distingué d’ordre p a . On note N 1 l’unique sous-corps de N de degré n p a - 1 sur Q , O N (resp. O N 1 ) le clôture intégrale de Z dans N (resp. N 1 ) et v l’opérateur trace dans l’extension N / N 1 . On démontre que O N / O N 1 est un module localement libre sur l’anneau A = Z [ G ] / v . On montre ensuite que l’idéal engendré par les résolvantes de Fröhlich associées à un caractère fidèle absolument irréductible de...

Annulation du groupe des ℓ -classes généralisées d’une extension abélienne réelle de degré premier à ℓ

Georges Gras (1979)

Annales de l'institut Fourier

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Soit ℓ un nombre premier impair. Soit K une extension abélienne réelle de Q de degré premier à ℓ et soit G son groupe de Galois; soit φ ( φ ≠ 1 ) un caractère ℓ -adique irréductible de K . Soit M la ℓ -extension abélienne maximale de K non ramifiée en dehors de ℓ et soit 𝒜 le Z ℓ [ G ] -module Gal ( M / K ) ; 𝒜 φ (la φ -composante de 𝒜 ) est un module fini sur l’anneau des entiers Z ℓ ψ ' de Q ℓ ψ ' (corps des valeurs sur Q ℓ d’un caractère ψ ' de degré 1 divisant φ ). On construit explicitement pour tout n ≥ 0 un élément 𝒮 n de Z ℓ ψ ' qui annule...

Sur la structure des groupes de classes relatives. Avec un appendice d'exemples numériques par T. Berthier

Georges Gras (1993)

Annales de l'institut Fourier

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Suite aux travaux de R. Schoof et de H.W. Lenstra–R. Schoof, nous donnons une méthode permettant de trouver, pour tout p premier ne divisant pas [ F : ℚ ] , un système de générateurs du p -groupe des classes relatives du corps abélien imaginaire F , ceci avec la seule connaissance de nombres de Bernoulli B 1 ( ψ - 1 ) . Des exemples numériques sont donnés pour p = 3 et p = 5 , dans le cadre des extensions cycliques de degré 2 et 4. Le premier exemple de p -groupe des classes possédant une χ -composante non monogène (pour...