On étudie sommairement la distribution des valeurs de $L^{\text{'}}(1,\chi )$ ($\chi$ : caractère de Dirichlet primitif réel) et on constate qu’on a en général $L^{\text{'}}(1,\chi )\<{\pi }^2/6$; on démontre par ailleurs que $L(1,\chi )\>c\left(ϵ\right)/logk$ ($k$ : conducteur de $\chi$; $c\left(ϵ\right)$: constante positive effectivement calculable.

Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P\left(x\right)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N\left(x\right)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. En posant $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)$, la condition de Beurling est $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ avec $a\>\frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec...

Un théorème bien connu de Pólya montre que si $f\left(z\right)$ est une fonction entière d’une variable complexe telle que $f\left(n\right)$ appartienne à $\mathbb{Z}$ pour tout entier naturel $n$, et de type exponentiel plus petit que $log2$, alors $f$ est un polynôme. De même Gel’fond a montré que si $q$ est un entier naturel plus grand que 1, si la croissance de $f$ est assez lente et si $f\left(q^n\right)$ appartient à $\mathbb{Z}$ pour tout $n$, alors $f$ est un polynôme. Dans cet article, nous étudions le même genre de question quand les suites $n$ et $q^n$ sont...

On considère un opérateur $L$ défini par $$Lu=\sum _{i=1}^n{D}_i{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)-\sum _{k=1}^N{D}_t[{\alpha }_{p,k}{u}_k]$$ où $u$ est une application de $\bar{\Omega }\times [0,T]$ dans ${\mathbf{R}}^N$ ($\Omega$ ouvert quelconque de $R^n$), ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ $(1\le i\le n;1\le p\le N)$ sont des opérateurs du premier ordre ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)={\sum }_{j,k}{a}_{ijk}^p{D}_j{u}_k$ dans le cas linéaire), ${\alpha }_{pk}$ et $a_{ijk}^p$ sont des fonctions non nécessairement bornées de $\bar{\Omega }\times [0,T]$. On démontre, sous certaines hypothèses, que les solutions de $-2uLu\le c_1{u}^2+\mu {\sum }_{i,p}{D}_i{u}_p.{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ ($c_1$ fonction de $\bar{\Omega }\times [0,T]$, $\mu$ constante positive inférieure à 2), vérifient : $t\to {\int }_{\Omega }{\Phi }^2{\alpha }_{p,k}{u}_p.u_{k}dx$ est décroissante (${\Phi }^2$ fonction poids convenablement choisie). De ce résultat, on obtient...

Pour majorer les sommes d’exponentielles de la forme ${\sum }_{m\backsim M}e\left(f\left(m\right)\right)$ uniquement en fonction de la dérivée $k$-ième de $f$, on dispose soit de la méthode de van der Corput pour les petites valeurs de $k$, soit de celle de Vinogradov pour les grandes valeurs de $k$. La jonction entre ces deux méthodes, tenant compte des progrès récents de l’une et de l’autre, est obtenue ici en étudiant les cas $k=9,10,11$ par une méthode qui relève essentiellement de celle de Vinogradov. Des calculs difficiles, effectués sur ordinateur,...

Soit $K$ un compact polynomialement convexe de ${\mathbf{C}}^n$ et $V_K$ son “potentiel logarithmique extrémal” dans ${\mathbf{C}}^n$. Supposons que $K$ est régulier (i.e. $V_K$ continue) et soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage de $K$. On construit alors une suite $\{{\mathbf{P}}_{\ell }{\}}_{\ell \ge 1}$ de polynôme de $n$ variables complexes avec deg$({\mathbf{P}}_{)}\le \ell$ pour $\ell \ge 1$, telle que l’erreur d’approximation ${\max }_{z\in K}|f\left(z\right)-P_{\ell }\left(z\right)|$ soit contrôlée de façon assez précise en fonction du “pseudorayon de convergence” de $f$ par rapport à $K$ et du degré de convergence $\ell$. Ce résultat est ensuite utilisé...

In this paper we consider an extension to friable integers of the arcsine law for the mean distribution of the divisors of integers, originally due to Deshouillers, Dress and Tenenbaum. We describe the limit law and show that it departs from the arcsine law when the friability parameter $u:=logx/logy$ increases. More precisely, as $u\to \infty$, the mean distribution shifts from the arcsine law towards Gaussian behaviour.