Polynômes à groupe de Galois diédral

Dominique Martinais; Leila Schneps

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Extensions cycliques de degré $ℓ$ de corps de nombres $ℓ$ -réguliers

Florence Soriano (1994)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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We determine all cyclic extensions $L$ of prime degree $ℓ$ over a $ℓ$ -regular number field $K$ containing the $ℓ$ -roots of unity which are also $l$ -regular. We classify these extensions according to the ramification index of the wild place $ℒ$ in $L / K$ and to the $ℓ$ -valuation of the relative class number $h_{L / K}$ (which is the quotient $h_{L} / h_{K}$ of the ordinary class numbers of $L$ and $K$ ). We study the case where the $ℓ$ is odd prime, since the even case was studien by R. Berger. Our genus theory methods rely essentially...

Finitude de tours et $p$ -tours $T$ -ramifiées modérées, $S$ -décomposées

Christian Maire (1996)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit $k$ un corps de nombres et soient $T$ et $S$ deux ensembles finis de places de $k$ ; on peut définir la tour de Hilbert de $k$ , $T$ -ramifiée modérée, $S$ -décomposée. Ceci permet d’obtenir, par exemple, la notion de tour de Hilbert au sens classique et de tour de Hilbert au sens restreint. On donne alors d’une part, un critère de finitude de cette nouvelle tour, critère construit à partir d’un résultat d’Odlyzko, puis d’autre part deux critères de non-finitude, le premier étant une conséquence...

Classes de Steinitz d’extensions à groupe de Galois $A_{4}$

Marjory Godin, Bouchaïb Sodaïgui (2002)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soient $k$ un corps de nombres et $𝒞 l (k)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_{4}$ est dite alternée. Soit $E / k$ une extension cyclique de degré $3$ . On calcule la classe de Steinitz, dans $𝒞 l (k)$ , de toute extension alternée contenant $E$ . Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $𝒞 l (k)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise...

Ramifications minimales

Georges Gras (2000)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Similarity:

Nous appliquons à la notion d’extension (cyclique de degré $p$ ) à ramification minimale, les techniques de “ réflexion ” qui permettent une caractérisation très simple de ces extensions à l’aide d’un corps gouvernant.

Familles d’extensions de corps de nombres $l$ -rationnels

Florence Soriano (1996)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Dans cet article, nous déterminons et classifions toutes les extensions cycliques de degré $l$ de corps de nombres $Ł$ -rationnels contenant une racine primitive $l$ -ième de l’unité. (Cette notion est plus générale que celle de $l$ -régularité étudiée dans un travail antérieur).

Extensions quaternioniennes d'un corps de nombres

Pierre Damey (1974)

Mémoires de la Société Mathématique de France

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Sur les corps de Hilbert-Speiser

Thomas Herreng (2005)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

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On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$ . Il est bien connu que $ℚ$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $ℚ$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser...

Théorèmes de réflexion

Georges Gras (1998)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit $K$ un corps de nombres contenant $μ_{p}$ et muni d’un groupe d’automorphismes $G$ d’ordre étranger à $p$ ; pour toute représentation $𝔽_{p}$ -irréductible $V_{χ}$ de $G$ , de caractère $χ$ , et tout $G$ -module $M$ , soit rg $_{χ} (M)$ l’entier $r$ maximum tel que $M / M^{p}$ contienne $V_{χ}^{r}$ . Nous établissons par exemple la formule générale explicite suivante : $r g_{χ^{*}} (C ℓ_{T}^{S}) - r g_{χ} (C ℓ_{S}^{T}) = ρ_{χ} (T, S),$ où $T$ et $S$ sont des ensembles finis disjoints de places de $K$ tels que $T \cup S$ contienne les places au-dessus de $p \infty$ , où $C ℓ_{T}^{S}$ est le groupe de classes généralisées qui...

Descente et parallélogramme galoisiens

Richard Massy, Sylvie Monier-Derviaux (1999)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Soit $p$ un nombre premier impair. Soit $D / J$ une $p$ -extension galoisienne de corps ne contenant pas les racines $p$ -ièmes de l’unité : $J \cap μ_{p} = \{1\}$ . Notons $G$ le groupe de Galois de $D / J$ et $Φ (G)$ son sous-groupe de Frattini. Via une notion de descente galoisienne et les parallélogrammes galoisiens qu’elle induit, nous construisons ici toutes les extensions $D / J$ telles que $Φ (G)$ soit d’ordre $p$ .

Construction de base normale pour les extensions de $ℚ$ à groupe $D_{4}$

Jean Cougnard (2000)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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Dans son article de 1971, essentiellement consacré aux extensions quaternioniennes de degré $8$ , J. Martinet prouve, au passage, l’existence de bases normales pour les entiers des extensions modérément ramifiées de $ℚ$ de groupe $D_{4}$ . On en donne une construction en reprenant les méthodes de sa thèse.

Trivialité du $2$ -rang du noyau hilbertien

Hervé Thomas (1994)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

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We give exhaustive list of biquadratic fields $K = ℚ (i, \sqrt{m})$ and $K = ℚ (\sqrt{2}, \sqrt{m})$ without $2$ -exotic symbol, i.e. for which the $2$ -rank of the Hilbert kernel (or wild kernel) is zero. Such $K = ℚ (i, \sqrt{m})$ are logarithmic principals [J3]. We detail an exemple of this technical numerical exploration and quote the family of theories and results we utilize. The $2$ -rank of tame, regular and wild kernel of $K$ -theory are connected with local and global problem of embedding in a $Z_{2}$ -extension. Global class field theory can describe the $2$ -rank...