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Perfect powers expressible as sums of two fifth or seventh powers

Sander R. Dahmen, Samir Siksek (2014)

Acta Arithmetica

We show that the generalized Fermat equations with signatures (5,5,7), (5,5,19), and (7,7,5) (and unit coefficients) have no non-trivial primitive integer solutions. Assuming GRH, we also prove the non-existence of non-trivial primitive integer solutions for the signatures (5,5,11), (5,5,13), and (7,7,11). The main ingredients for obtaining our results are descent techniques, the method of Chabauty-Coleman, and the modular approach to Diophantine equations.

Points rationnels et méthode de Chabauty elliptique

Sylvain Duquesne (2003)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

La méthode de Chabauty elliptique permet de calculer les points rationnels sur une courbe définie sur un corps de nombres lorsque le théorème de Chabauty ne s’applique pas, c’est à dire lorsque le rang de la jacobienne est supérieur au genre de la courbe. Nous exposons cette méthode et nous la généralisons dans de nouveaux cas en écrivant une version explicite du théorème de préparation de Weierstrass en 2 variables. En particulier nous calculons tous les points rationnels d’une courbe de genre...

Power values of sums of products of consecutive integers

Lajos Hajdu, Shanta Laishram, Szabolcs Tengely (2016)

Acta Arithmetica

We investigate power values of sums of products of consecutive integers. We give general finiteness results, and also give all solutions when the number of terms in the sum considered is at most ten.

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