We improve the known upper bound of the dimension $n$ of an indecomposable unimodular lattice whose shadow has the third largest possible length, $n-16$.

1. Introduction. On doit à G. Voronoï [Vo] un algorithme de classification complète des formes quadratiques parfaites. Il est dès lors possible, en principe, de déterminer en un temps fini la constante d'Hermite γₙ, qui décrit dans ℝⁿ la densité maximale des empilements de sphères en réseau. L'énorme complexité de l'algorithme lui donne une limite naturelle: il semble actuellement impensable de dépasser la dimension 8, où les explorations ont déjà fourni des milliers de formes...

Les variétés abéliennes principalement polarisées admettent un espace des modules grossier qu’on sait compactifier de plusieurs façons (compactification de Satake, compactifications toroïdales). Cependant, le problème s’est posé de construire une compactification “modulaire”en termes d’objets géométriques qui permettent de décrire les points du bord. On souhaite aussi compactifier l’application de Torelli qui à chaque courbe algébrique, projective et lisse, associe sa jacobienne. L’exposé présente...

We show that if $L$ is an extremal even unimodular lattice of rank $40r$ with $r=1,2,3$, then $L$ is generated by its vectors of norms $4r$ and $4r+2$. Our result is an extension of Ozeki’s result for the case $r=1$.

Voronoï ’s algorithm is a method for obtaining the complete list of perfect $n$-dimensional quadratic forms. Its generalization to $G$-forms has the advantage of running in a lower-dimensional space, and furnishes a finite, and complete, classification of $G$-perfect forms ($G$ is a finite subgroup of $GL(n,\mathbb{Z}))$. We study the standard, $\phi \left(m\right)$-dimensional irreducible representation of the cyclic group $C_m$ of order $m$, and give the, often new, densest $G$-forms. Perfect cyclotomic forms are completely classified for $\phi \left(m\right)\<16$ and for...