One of the oldest and most fundamental problems in the theory of finite projective planes is to classify those having a group which acts transitively on the incident point-line pairs (flags). The conjecture is that the only ones are the Desarguesian projective planes (over a finite field). In this paper, we show that non-Desarguesian finite flag-transitive projective planes exist if and only if certain Fermat surfaces have no nontrivial rational points, and formulate several other equivalences involving...

Soit $a$ un réel de $]0,1[$. Nous étudions le système d’équations de convolution suivant$$(*)\forall x\in {\mathbf{R}}^2,f\left(x\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=\pm 1}{{ϵ}^{\text{'}}=\pm 1}}f(x+(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\left)\right)=\frac{1}{4}\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{ϵ=\pm 1}{{ϵ}^{\text{'}}=\pm 1}}f(x+a(ϵ,{ϵ}^{\text{'}}\left)\right).$$Nous démontrons que les exponentielles polynômes solutions de $(*)$ sont denses dans l’espace des solutions $C^{\infty }$ du système d’équations; l’idéal de ${ℰ}^{\text{'}}({\mathbf{R}}^2)$ engendré par les transformées de Fourier des deux mesures intervenant ici est “slowly decreasing” au sens de Berenstein-Taylor. Lorsque $a$ n’est pas un nombre de Liouville, nous montrons qu’il existe un ouvert relativement compact telle que toute solution distribution de $(*)$ régulière...