La théorie des nombres premiers généralisés de Beurling fait intervenir $N\left(x\right)$, la fonction de décompte des entiers généralisés, $P\left(x\right)$, celle des nombres premiers généralisés, et $\zeta \left(s\right)$, la fonction dzeta adaptée. Les hypothèses sur $N\left(x\right)$ se traduisent en propriétés de $\zeta \left(s\right)$, qui entraînent ou non le “théorème des nombres premiers” (TNP) $P\left(x\right)\sim x/\log x$ ou “ l’inégalité de Tchebycheff” (IT) $P\left(x\right)=O(x/\log x)$. L’article est consacré au rôle de la fonction $it\zeta (1+it)$, en relation avec les algèbres ${\displaystyle A=ℱL^1\left(ℝ\right),A^{\infty }=\left\{f\underset{y\ge \left|x\right|}{sup}\left|\left(ℱf\right)\left(x\right)\right|\in L^1({ℝ}^{+},dy)\right\}}$ et $H^1=ℱL^2(ℝ,(1+y^2\left)dy\right)$. On montre que l’hypothèse $it\zeta (1+it)\exp (-2|t{|}^{\alpha })\in H^1$ entraîne (TNP) quand $\alpha \<2$ et...