Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P\left(x\right)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N\left(x\right)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. En posant $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)$, la condition de Beurling est $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ avec $a\>\frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec $a=\frac{3}{2}$. L’article...