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Twists of Hessian Elliptic Curves and Cubic Fields

Katsuya Miyake (2009)

Annales mathématiques Blaise Pascal

In this paper we investigate Hesse’s elliptic curves $H_{μ} : U^{3} + V^{3} + W^{3} = 3 μ U V W, μ \in Q - {1}$ , and construct their twists, $H_{μ, t}$ over quadratic fields, and $\tilde{H} (μ, t), μ, t \in Q$ over the Galois closures of cubic fields. We also show that $H_{μ}$ is a twist of $\tilde{H} (μ, t)$ over the related cubic field when the quadratic field is contained in the Galois closure of the cubic field. We utilize a cubic polynomial, $R (t; X) : = X^{3} + t X + t, t \in Q - {0, - 27 / 4}$ , to parametrize all of quadratic fields and cubic ones. It should be noted that $\tilde{H} (μ, t)$ is a twist of $H_{μ}$ as algebraic curves because it may not always have any rational points...

Über die Existenz maximaler algebraischer Körperweiterungen.

Sigurd Elliger (1970)

Mathematische Zeitschrift

Über die Struktur der Multiplikationsgruppe von Körpern.

Wolfram Jehne (1972)

Journal für die reine und angewandte Mathematik

Über Konstruktionen mit Zirkel, Lineal und Winkelteilungen.

Franz Halter-Koch (1987)

Elemente der Mathematik

Ultraproduits gradués. Applications.

Ion D. Ion, Constantin Nita (1992)

Publicacions Matemàtiques

Dans ce travail sont définis les ultraproduits d'anneaux et de modules gradués. L'ultraproduit gradué coïncide dans le case d'une famille Ri[X1, ..., Xn], i ∈ I, d'anneaux de polynômes avec le sousanneau d'éléments génerés dans l'ultraproduit usuel par les familles de polynômes de degré total borné.Nous démonstrons que l'ultraproduit d'une famille de modules gradués libres, qui verifie une condition naturelle de finitude et aussi un module gradué libre (Théorème 2.2). Après un étude de l'arithmétique...