Sia $p:X\to P^2$ un fibrato in coniche standard con curva discriminante $\mathrm{\Delta }$ di grado $d$. La varietà delle sezioni minime delle superfici $p^{-1}\left(C\right)$, dove $C$ è una curva di grado $d-3$, si spezza in due componenti ${\mathcal{C}}_{+}$ e ${\mathcal{C}}_{-}$. Si prova che, mediante la mappa di Abel-Jacobi $\mathrm{\Phi }$, una di queste componenti domina la Jacobiana intermedia $JX$, mentre l'altra domina il divisore theta $\mathrm{\Theta }\subset JX$. Questi risultati vengono applicati ad alcuni threefold di Fano birazionalmente equivalenti a un fibrato in coniche. In particolare si prova che il generico...