Let $G$ be a group and $n$ an integer $\ge 2$. We say that $G$ has the $n$-permutation property $(G\in P_n)$ if, for any elements $x_1,x_2,\mathrm{\cdots },x_n$ in $G$, there exists some permutation $\sigma$ of $\{1,2,\mathrm{\cdots },n\}$, $\sigma \ne id.$ such that $x_1,x_2,\mathrm{\cdots },x_n=x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\mathrm{\cdots },x_{\sigma (n)}$. We prouve that every group $G\in P_n$ is an FC-nilpotent group of class $\le n-1$, and that a finitely generated group has the $n$-permutation property (for some $n$) if, and only if, it is abelian by finite. We prouve also that a group $G\in P_3$ if, and only if, its derived subgroup has order at most 2.

Sia $G$ un gruppo non abeliano né hamiltoniano, ed $n$ un intero $\ge 2$. Si dice che $G$ appartiene a $S\left(n\right)$ se tutti i sottogruppi non normali di $G$ hanno ordine $n$. Sia $p$ un numero primo. In questa Nota vengono determinati: 1) tutti i $p$-gruppi in $S\left(p\right)$ (Teoremi 1 e 2); 2) tutti i $p$-gruppi in $S\left(p^i\right)$ per $i\ge 2$ e $p\ge 3$ (Teorema 3); 3) tutti i gruppi di esponente $4$ appartenenti ad $S\left(4\right)$ (Teorema 4).

Si studiano le partizioni dei $p$-gruppi finiti e, in particolare, le equipartizioni. Si danno risultati sulle equipartizioni dei $p$-gruppi di classe submassimale.

Si studiano le partizioni dei $p$-gruppi finiti e, in particolare, quelle con molti componenti di un dato ordine. Si deriva una condizione necessaria (Teorema 1) per l'esistenza di tali partizioni in termini di gradi dei caratteri irriducibili. Si deducono quindi alcuni corollari e si dà un'applicazione ai gruppi di matrici unitriangolari (Proposizione 3).