Henri Poincaré avait déjà remarqué que les variétés stable et instable du pendule perturbé, défini par l’hamiltonien$$H(q,p,t)=p^2/2+(-1+\cos q)(1-\mu \sin (t/ϵ\left)\right),$$ne coïncident pas lorsque que le paramètre $\mu$ n’est pas nul, mais qu’on peut leur associer un même développement formel divergent en puissance de $ϵ$. Cette divergence est ici analysée au moyen de la récente théorie de la résurgence, et du calcul étranger qui permet de trouver un équivalent asymptotique de l’écart des deux variétés pour $ϵ$ tendant vers zéro - du moins cela est-il montré...

Some problems in differential equations evolve towards Topology from an analytical origin. Two such problems will be discussed: the existence of solutions asymptotic to the equilibrium and the stability of closed orbits of Hamiltonian systems. The theory of retracts and the fixed point index have become useful tools in the study of these questions.

We propose a new rigorous numerical technique to prove the existence of symmetric homoclinic orbits in reversible dynamical systems. The essential idea is to calculate Melnikov functions by the exponential dichotomy and the rigorous numerics. The algorithm of our method is explained in detail by dividing into four steps. An application to a two dimensional reversible system is also treated and the existence of a symmetric homoclinic orbit is rigorously verified as an example.