Nous proposons de formaliser une méthode d’approximation diophantienne dans $ℝ$ en considérant l’action de $PG{L}_2\left(\mathbb{Z}\right)$ sur le demi-plan complexe. On retrouvera le thème classique de la connexion entre développement en fractions continues et flots géodésiques modélisé ici par un billard hyperbolique.