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Let $ϵ = (ϵ_{n})_{n \geq 0}$ be the Thue-Morse sequence, i.e., the sequence defined by the recurrence equations: $ϵ_{0} = 1, ϵ_{2 n} = ϵ_{n}, ϵ_{2 n + 1} = 1 - ϵ_{n} .$ We consider ${| ℰ_{n}^{p} |}_{n \geq 1, p \geq 0}$ , the double sequence of Hankel determinants (modulo 2) associated with the Thue-Morse sequence. Together with three other sequences, it obeys a set of sixteen recurrence equations. It is shown to be automatic. Applications are given, namely to combinatorial properties of the Thue-Morse sequence and to the existence of certain Padé approximants of the power series $\sum_{n \geq 0} (- 1)^{ϵ_{n}} x^{n}$ .

Hermite-Padé approximations of generalized hypergeometric series in two variables.

Sorokin, V. N. (2002)

Sibirskij Matematicheskij Zhurnal

Integral representations for Padé-type operators.

Daras, Nicholas J. (2002)

Journal of Applied Mathematics

Irrationalité de valeurs de zêta

Stéphane Fischler (2002/2003)

Séminaire Bourbaki

Les valeurs aux entiers pairs (strictement positifs) de la fonction $ζ$ de Riemann sont transcendantes, car ce sont des multiples rationnels de puissances de $π$ . En revanche, on sait très peu de choses sur la nature arithmétique des $ζ (2 k + 1)$ , pour $k \geq 1$ entier. Apéry a démontré en 1978 que $ζ (3)$ est irrationnel. Rivoal a prouvé en 2000 qu’une infinité de $ζ (2 k + 1)$ sont irrationnels, mais sans pouvoir en exhiber aucun autre que $ζ (3)$ . Il existe plusieurs points de vue sur la preuve d’Apéry ; celui des séries hypergéométriques...

Mémoire sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle, pouvant servir d'introduction à la théorie des fractions continues algébriques

H. Padé (1899)

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure

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Convergence of Padé approximations for a q-hypergeometric series (Wynn's Power Series I).

Diagonal Padé approximants to hyperelliptic functions

Equiconvergence of some simultaneous Hermite-Padé interpolants

Error estimation on the Padé approximation of transfer functions via the Lanczos process.

From Taylor to quadratic Hermite-Padé polynomials.

General Order Newton-Padé Approximants for Multivariate Functions.

Hankel determinants for the Fibonacci word and Padé approximation

Hankel determinants of the Thue-Morse sequence

Hermite-Padé approximations of generalized hypergeometric series in two variables.

Integral representations for Padé-type operators.

Irrationalité de valeurs de zêta

Irrationality proof of a q-extension of ζ(2) using little q-Jacobi polynomials

Look-ahead Levinson- and Schur-type recurrences in the Padé table.

L'orthogonalité et les récurrences de polynômes d'ordre supérieur à deux

Mémoire sur les développements en fractions continues de la fonction exponentielle, pouvant servir d'introduction à la théorie des fractions continues algébriques

Mesures d'irrationalité de log 2.

Modified Moments for Indefinite Weight Functions.

Monotonicity properties of the relative error of a Padé approximation for Mills' ratio.

More examples on general order multivariate Padé approximants for pseudo-multivariate functions.

Norm Bounds for Rational Matrix Functions.

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