Nous désirons savoir si l’opérateur différentiel d’ordre $1,\frac{d}{dx}+G$, où $G$ est une $k\times k$ matrice à coefficients rationnels, a un indice dans l’espace des fonctions analytiques dans une boule; dans le cas où cet indice existe nous voulons aussi le calculer. Dans le cas où $k=1$ nous montrons l’existence d’un indice (si l’exposant de l’opérateur n’est pas Liouville $p$-adique) et nous montrons comment calculer cet indice. De même nous savons montrer l’existence d’un indice et comment calculer cet indice lorsque le système...

This is a contribution to the theory of topological vector spaces within the framework of the alternative set theory. Using indiscernibles we will show that every infinite set $uS\subseteq G$ in a biequivalence vector space $\langle W,M,G\rangle$, such that $x-y\notin M$ for distinct $x,y\in u$, contains an infinite independent subset. Consequently, a class $X\subseteq G$ is dimensionally compact iff the $\pi$-equivalence ${\doteq }_M$ is compact on $X$. This solves a problem from the paper [NPZ 1992] by J. Náter, P. Pulmann and the second author.

In this paper, following the $p$-adic integration theory worked out by A. F. Monna and T. A. Springer [4, 5] and generalized by A. C. M. van Rooij and W. H. Schikhof [6, 7] for the spaces which are not $\sigma$-compacts, we study the class of integrable $p$-adic functions with respect to Bernoulli measures of rank $1$. Among these measures, we characterize those which are invertible and we give their inverse in the form of series.