Nous désirons savoir si l’opérateur différentiel d’ordre $1,\frac{d}{dx}+G$, où $G$ est une $k\times k$ matrice à coefficients rationnels, a un indice dans l’espace des fonctions analytiques dans une boule; dans le cas où cet indice existe nous voulons aussi le calculer. Dans le cas où $k=1$ nous montrons l’existence d’un indice (si l’exposant de l’opérateur n’est pas Liouville $p$-adique) et nous montrons comment calculer cet indice. De même nous savons montrer l’existence d’un indice et comment calculer cet indice lorsque le système...

The heat kernel of a Sturm-Liouville operator with logarithmic potential can be described by using the Wiener integral associated with a real hyperplane arrangement. The heat kernel satisfies an infinite-dimensional analog of the Gauss-Manin connection (integrable system), generalizing a variational formula of Schläfli for the volume of a simplex in the space of constant curvature.

In questa Nota, che è il seguito della Nota I dallo stesso titolo, si dimostra che l'applicazione ${}^t\mathcal{X}$, legata all'operatore di trasmutazione associato all'operatore singolare $P$, è un isomorfismo algebrico e topologico tra gli spazi ${\mathcal{G}}_{*}^s\left(P\right)$ e ${\mathcal{G}}_{*}^s$.

In questa Nota (cui farà seguito una seconda) si definiscono, tramite iterazione di operatori differenziali singolari su $]0,+\mathrm{\infty }[$ a coefficienti $C^{\mathrm{\infty }}$, spazi di funzioni ultradifferenziabili di ordine $s>1$. Un teorema di tipo Paley-Wiener qui dimostrato permette di concludere che i suddetti spazi sono algebricamente isomorfi allo spazio delle funzioni di Gevrey, di ordine s, pari su $\mathbb{R}$.