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On substitution invariant Sturmian words: an application of Rauzy fractals

Valérie Berthé, Hiromi Ei, Shunji Ito, Hui Rao (2007)

RAIRO - Theoretical Informatics and Applications

Sturmian words are infinite words that have exactly n+1 factors of length n for every positive integer n. A Sturmian word sα,p is also defined as a coding over a two-letter alphabet of the orbit of point ρ under the action of the irrational rotation Rα : x → x + α (mod 1). A substitution fixes a Sturmian word if and only if it is invertible. The main object of the present paper is to investigate Rauzy fractals associated with two-letter invertible substitutions. As an application, we give...

On the conjectures of Rauzy and Shallit for infinite words

Jean-Paul Allouche, Mireille Bousquet-Mélou (1995)

Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae

We show a connection between a recent conjecture of Shallit and an older conjecture of Rauzy for infinite words on a finite alphabet. More precisely we show that a Rauzy-like conjecture is equivalent to Shallit's. In passing we correct a misprint in Rauzy's conjecture.

On the spectrum of the Thue-Morse quasicrystal and the rarefaction phenomenon

Jean-Pierre Gazeau, Jean-Louis Verger-Gaugry (2008)

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux

The spectrum of a weighted Dirac comb on the Thue-Morse quasicrystal is investigated by means of the Bombieri-Taylor conjecture, for Bragg peaks, and of a new conjecture that we call Aubry-Godrèche-Luck conjecture, for the singular continuous component. The decomposition of the Fourier transform of the weighted Dirac comb is obtained in terms of tempered distributions. We show that the asymptotic arithmetics of the p -rarefied sums of the Thue-Morse sequence (Dumont; Goldstein, Kelly and Speer; Grabner;...

Opérations sur les mots de Christoffel

Éric Laurier (1999)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

On peut définir la pente d'un mot écrit avec des 0 et des 1 comme le nombre de 1 divisé par le nombre de 0, et généraliser cette définition aux mots de longueur infinie. Considérant le lien entre les mots de Christoffel et les fractions continues, on se propose d'étudier le comportement de tels mots lorsqu'on additionne leurs pentes, ou qu'on les multiplie par un entier positif. Après un bref exposé des différentes notions liées aux mots de Christoffel, l'étude de la somme et de la multiplication...

Periodicity problem of substitutions over ternary alphabets

Bo Tan, Zhi-Ying Wen (2008)

RAIRO - Theoretical Informatics and Applications - Informatique Théorique et Applications

In this paper, we characterize the substitutions over a three-letter alphabet which generate a ultimately periodic sequence.

Prime numbers along Rudin–Shapiro sequences

Christian Mauduit, Joël Rivat (2015)

Journal of the European Mathematical Society

For a large class of digital functions f , we estimate the sums ∑ n ≤ x Λ ( n ) f ( n ) (and ∑ n ≤ x μ ( n ) f ( n ) , where Λ denotes the von Mangoldt function (and μ the Möbius function). We deduce from these estimates a Prime Number Theorem (and a Möbius randomness principle) for sequences of integers with digit properties including the Rudin-Shapiro sequence and some of its generalizations.

Primitive substitutive numbers are closed under rational multiplication

Pallavi Ketkar, Luca Q. Zamboni (1998)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Let M ( r ) denote the set of real numbers α whose base- r digit expansion is ultimately primitive substitutive, i.e., contains a tail which is the image (under a letter to letter morphism) of a fixed point of a primitive substitution. We show that the set M ( r ) is closed under multiplication by rational numbers, but not closed under addition.

Propriétés arithmétiques des substitutions et automates infinis

Christian Mauduit (2006)

Annales de l’institut Fourier

L’objet de ce travail est d’étudier les propriétés arithmétiques et statistiques des mots infinis et des suites de nombres entiers engendrés par des substitutions sur un alphabet infini ou par des automates déterministes ayant un nombre infini dénombrable d’états. En particulier, nous montrons que si u est une suite de nombres entiers engendrée par un automate dont le graphe étiqueté associé représente une marche aléatoire de moyenne nulle sur un réseau de ℝ d ( d entier positif), alors la suite ( n α ) n ∈ u ...

Propriétés combinatoires, ergodiques et arithmétiques de la substitution de Tribonacci

Nataliya Chekhova, Pascal Hubert, Ali Messaoudi (2001)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Nous étudions certaines propriétés combinatoires, ergodiques et arithmétiques du point fixe de la substitution de Tribonacci (introduite par G. Rauzy) et de la rotation du tore 𝕋 2 qui lui est associée. Nous établissons une généralisation géométrique du théorème des trois distances et donnons une formule explicite pour la fonction de récurrence du point fixe. Nous donnons des propriétés d’approximation diophantienne du vecteur de la rotation de 𝕋 2 : nous montrons, que pour une norme adaptée, la suite...

Propriétés d'invariance des mots sturmiens

Bruno Parvaix (1997)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

Un mot sturmien est un mot infini, binaire, équilibré et non ultimement périodique. On détermine l’évolution de la pente et de l’intercept d’un mot sturmien, sous l’action du monoïde de Sturm. À l’aide des matrices de Raney, on énonce une condition que doivent satisfaire les pentes des mots laissés fixes par une substitution non triviale. Puis on prouve que cette condition est suffisante pour un ensemble particulier de mots dont l’intercept est une homographie de la pente.

Quelles tuiles ! (Pavages apériodiques du plan et automates bidimensionnels)

Olivier Salon (1989)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

La récente découverte des “quasicristaux” et leurs liens avec les pavages de Penrose ont entraîné un regain d'intérêt pour les pavages apériodiques du plan. Nous montrons ici que le pavage régulier de Robinson est engendré par un automate fini bidimensionnel, et qu'il donne une généralisation à deux dimensions du pliage de papier.

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