Let $Y$ be a hyperbolic surface and let $\phi$ be a Laplacian eigenfunction having eigenvalue $-1/4-{\tau }^2$ with $\tau >0$. Let $N\left(\phi \right)$ be the set of nodal lines of $\phi$. For a fixed analytic curve $\gamma$ of finite length, we study the number of intersections between $N\left(\phi \right)$ and $\gamma$ in terms of $\tau$. When $Y$ is compact and $\gamma$ a geodesic circle, or when $Y$ has finite volume and $\gamma$ is a closed horocycle, we prove that $\gamma$ is “good” in the sense of [TZ]. As a result, we obtain that the number of intersections between $N\left(\phi \right)$ and $\gamma$ is $O\left(\tau \right)$. This bound is sharp.

We find the sum of series of the form $$\sum _{i=1}^{\infty }\frac{f\left(i\right)}{i^r}$$ for some special functions $f$. The above series is a generalization of the Riemann zeta function. In particular, we take $f$ as some values of Hurwitz zeta functions, harmonic numbers, and combination of both. These generalize some of the results given in Mező’s paper (2013). We use multiple zeta theory to prove all results. The series sums we have obtained are in terms of Bernoulli numbers and powers of $\pi$.

À partir des formes de Jacobi $D_L(z,\varphi )$, on construit une somme de Dedekind elliptique. On obtient ainsi un analogue elliptique aux sommes multiples de Dedekind construites à partir des fonctions cotangentes, étudiées par D. Zagier. En outre, on établit une loi de réciprocité satisfaite par ces nouvelles sommes. Par une procédure de limite, on peut retrouver la loi de réciprocité remplie par les sommes multiples de Dedekind classiques. D’autre part, en les spécialisant en des paramètres de points de 2- division,...

We give a Chowla-Selberg type formula that connects a generalization of the eta-function to $GL\left(n\right)$ with multiple gamma functions. We also present some simple infinite product identities for certain special values of the multiple gamma function.

The existence of a strong spectral gap for quotients $\Gamma \setminus G$ of noncompact connected semisimple Lie groups is crucial in many applications. For congruence lattices there are uniform and very good bounds for the spectral gap coming from the known bounds towards the Ramanujan–Selberg conjectures. If $G$ has no compact factors then for general lattices a spectral gap can still be established, but there is no uniformity and no effective bounds are known. This note is concerned with the spectral gap for an irreducible...

Les groupes d’homotopie du groupe (stabilisé) $G^0\left(X\right)$ des opérateurs pseudodifférentiels inversibles d’ordre zéro agissant sur une variété compacte sans bord $X$ sont calculés en termes de la $K$-théorie du fibré cosphérique $S^{*}X$. Du même coup, on montre que le sous-groupe des perturbations compactes inversibles de l’identité est faiblement rétractile dans $G^0\left(X\right)$. Les résultats sont aussi adaptés au cas des opérateurs suspendus. Des applications à la théorie de l’indice et pour le déterminant résiduel de Simon Scott...

On définit, en réponse à une question de Sarnak dans sa lettre a Bombieri [Sar01], un accouplement symplectique sur l’interprétation spectrale (due à Connes et Meyer) des zéros de la fonction zêta. Cet accouplement donne une formulation purement spectrale de la démonstration de l’équation fonctionnelle due à Tate, Weil et Iwasawa, qui, dans le cas d’une courbe sur un corps fini, correspond à la démonstration géométrique usuelle par utilisation de l’accouplement de dualité de Poincaré Frobenius-équivariant...

Higher-order non-holomorphic Eisenstein series associated to a Fuchsian group $\Gamma$ are defined by twisting the series expansion for classical non-holomorphic Eisenstein series by powers of modular symbols. Their functional identities include multiplicative and additive factors, making them distinct from classical Eisenstein series. In this article we prove the meromorphic continuation of these series and establish their functional equations which relate values at $s$ and $1-s$. In addition, we construct...