Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs $p_n\<p_{n+1}$ est, en moyenne, de l’ordre de $ln\left(p_n\right)$. Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée $(p_{n+1}-p_n)/ln\left(p_n\right)$ pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que $p_{n+1}-p_n\<16$ infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées inspirée par...

We prove that the error term ${\sum }_{n\le x}\Lambda \left(n\right)/n-logx+\gamma$ differs from (ψ(x)-x)/x by a well controlled function. We deduce very precise numerical results from the formula obtained.

On établit les majorations $\left|M\left(x\right)\right|\le \frac{0.002969x}{{(logx)}^{1/2}}$, valable pour $x\ge 142194,\left|M\left(x\right)\right|\le \frac{0.6437752x}{logx}$ qui est la meilleure majoration possible en $\frac{x}{logx}$ valable pour tout $x\>1(\left|M\left(5\right)\right|=2=\frac{0.6437752\times 5}{log5})$, et d’autres analogues. On montre enfin comment trouver des majorations effectives $\left|M\left(x\right)\right|\>\frac{c_{k}x{(loglogx)}^{2k}}{{(logx)}^k}$ pour tout $k$.

In a recent work we gave some estimations for exponential sums of the form ${\sum }_{n\le x}\Lambda \left(n\right)exp\left(2i\pi (f\left(n\right)+\beta n)\right)$, where Λ denotes the von Mangoldt function, f a digital function, and β a real parameter. The aim of this work is to show how these results can be used to study the statistical properties of digital functions along prime numbers.