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Je présenterai des résultats de T. Ekedahl et H. Esnault sur les variétés projectives lisses sur un corps de caractéristique strictement positive, disons $p$ , dont deux points peuvent être liés par une chaîne de courbes rationnelles, par exemple faiblement unirationnelles, ou de Fano. Notamment : 1) sur un corps fini, de telles variétés ont un point rationnel, résultat qui généralise le théorème de Chevalley-Warning ; 2) sur un corps algébriquement clos, de telles variétés ont un groupe fondamental...

Points rationnels et méthode de Chabauty elliptique

Sylvain Duquesne (2003)

Journal de théorie des nombres de Bordeaux

La méthode de Chabauty elliptique permet de calculer les points rationnels sur une courbe définie sur un corps de nombres lorsque le théorème de Chabauty ne s’applique pas, c’est à dire lorsque le rang de la jacobienne est supérieur au genre de la courbe. Nous exposons cette méthode et nous la généralisons dans de nouveaux cas en écrivant une version explicite du théorème de préparation de Weierstrass en $2$ variables. En particulier nous calculons tous les points rationnels d’une courbe de genre...

Points rationnels sur les quotients d’Atkin-Lehner de courbes de Shimura de discriminant $p q$

Florence Gillibert (2013)

Annales de l’institut Fourier

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts et $X^{p q} / w_{q}$ le quotient de la courbe de Shimura de discriminant $p q$ par l’involution d’Atkin-Lehner $w_{q}$ . Nous décrivons un moyen permettant de vérifier un critère de Parent et Yafaev en grande généralité pour prouver que si $p$ et $q$ satisfont des conditions de congruence explicites, connues comme les conditions du cas non ramifié de Ogg, et si $p$ est assez grand par rapport à $q$ , alors le quotient $X^{p q} / w_{q}$ n’a pas de point rationnel non spécial.

Points s-entiers des courbes elliptiques.

Mohamed Ayad (1992)

Manuscripta mathematica

Poisson geometry of directed networks in an annulus

Michael Gekhtman, Michael Shapiro, Vainshtein, Alek (2012)

Journal of the European Mathematical Society

As a generalization of Postnikov’s construction [P], we define a map from the space of edge weights of a directed network in an annulus into a space of loops in the Grassmannian. We then show that universal Poisson brackets introduced for the space of edge weights in [GSV3] induce a family of Poisson structures on rational matrix-valued functions and on the space of loops in the Grassmannian. In the former case, this family includes, for a particular kind of networks, the Poisson bracket associated...

Poisson structures on certain moduli spaces for bundles on a surface

Johannes Huebschmann (1995)

Annales de l'institut Fourier

Let $Σ$ be a closed surface, $G$ a compact Lie group, with Lie algebra $g$ , and $ξ : P \to Σ$ a principal $G$ -bundle. In earlier work we have shown that the moduli space $N (ξ)$ of central Yang-Mills connections, with reference to appropriate additional data, is stratified by smooth symplectic manifolds and that the holonomy yields a homeomorphism from $N (ξ)$ onto a certain representation space ${Rep}_{ξ} (Γ, G)$ , in fact a diffeomorphism, with reference to suitable smooth structures $C^{\infty} (N (ξ))$ and $C^{\infty} ({Rep}_{ξ} (Γ, G))$ , where $Γ$ denotes the universal central extension of...

Poisson structures on moduli spaces of sheaves over Poisson surfaces.

Francesco Bottacin (1995)

Inventiones mathematicae

Polar classes of singular varieties

Ragni Piene (1978)

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure

Polar quotients and singularities at infinity of polynomials in two complex variables

Arkadiusz Płoski (2002)

Annales Polonici Mathematici

Using the notion of the maximal polar quotient we characterize the critical values at infinity of polynomials in two complex variables. As an application we give a necessary and sufficient condition for a family of affine plane curves to be equisingular at infinity.

Polarizations of Prym varieties for Weyl groups via abelianization

Herbert Lange, Christian Pauly (2009)

Journal of the European Mathematical Society

Let $π : Z \to X$ be a Galois covering of smooth projective curves with Galois group the Weyl group of a simple and simply connected Lie group $G$ . For any dominant weight $λ$ consider the curve $Y = Z / Stab (λ)$ . The Kanev correspondence defines an abelian subvariety $P_{λ}$ of the Jacobian of $Y$ . We compute the type of the polarization of the restriction of the canonical principal polarization of $Jac (Y)$ to $P_{λ}$ in some cases. In particular, in the case of the group $E_{8}$ we obtain families of Prym-Tyurin varieties. The main idea is the use of...

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Points rationnels de la cubique $y^{2} = x^{3} - A x - B$ dans les corps $p$ -adiques

Points rationnels des courbes génériques de $ℙ^{3}$ . I

Points rationnels des courbes génériques de $ℙ^{3}$ . II

Points rationnels des courbes modulaires $X_{0} (N)$

Points rationnels des courbes modulaires $X_{0} (N)$

Points rationnels d'ordre fini des courbes abéliennes (thèse d'Yves Hellegouarch)

Points rationnels et groupes fondamentaux : applications de la cohomologie $p$ -adique