Soient $k$ un anneau commutatif et $A$ une $k$-algèbre associative quelconque. Nous calculons le groupe d’homologie $H_2({𝔰l}_n\left(A\right),k)$ de la $k$-algèbre de Lie ${𝔰l}_n\left(A\right)$ des matrices de “trace nulle” sur $A$. Le groupe ainsi déterminé est un groupe d’homologie d’un complexe inspiré d’A. Connes; il est isomorphe à ${\Omega }_{A/k}^1/dA$ lorsque $A$ est commutative. Nous obtenons également des résultats pour un groupe d’homologie relative associé à une surjection de $k$-algèbres. Les démonstrations utilisent la classification des extensions centrales et des...

We study (non-abelian) extensions of a given hom-Lie algebra and provide a geometrical interpretation of extensions, in particular, we characterize an extension of a hom-Lie algebra $𝔤$ by another hom-Lie algebra $𝔥$ and discuss the case where $𝔥$ has no center. We also deal with the setting of covariant exterior derivatives, Chevalley derivative, Maurer-Cartan formula, curvature and the Bianchi identity for the possible extensions in differential geometry. Moreover, we find a cohomological obstruction...

Using extremal projectors, Zhelobenko solved extremal equations in a generic Verma module of a complex semi-simple Lie algebra. We will solve similar equations in the semi-classical case. Our proof will be geometric. In the appendix, we give a factorization for the extremal projector of the Virasoro algebra in the semi-classical case.