Let $\Lambda$ be a subgroup of an arithmetic lattice in $\mathrm{SO}(n+1,1)$. The quotient ${ℍ}^{n+1}/\Lambda$ has a natural family of congruence covers corresponding to ideals in a ring of integers. We establish a super-strong approximation result for Zariski-dense $\Lambda$ with some additional regularity and thickness properties. Concretely, this asserts a quantitative spectral gap for the Laplacian operators on the congruence covers. This generalizes results of Sarnak and Xue (1991) and Gamburd (2002).

Soit $G$ l’ensemble des points d’un groupe algébrique semi-simple connexe de rang relatif un sur un corps local ultramétrique. Nous décrivons tous les sous-groupes discrets de type fini sans torsion de $G\times G$ qui agissent proprement et cocompactement sur $G$ par multiplication à gauche et à droite. Nous montrons qu’après une petite déformation dans $G\times G$ un tel sous-groupe agit encore librement, proprement discontinûment et cocompactement sur $G$.