Global solutions for the critical nonlinear wave equation in variable coefficients

Slim Ibrahim; Mohamed Majdoub

Bulletin de la Société Mathématique de France (2003)

  • Volume: 131, Issue: 1, page 1-22
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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In this work, we study the existence of both global smooth and Shatah-Struwe’s solutions of the critical wave equation in variable coefficients in dimension d of space □ A u + | u | 4 / ( d - 2 ) u = ∂ t 2 u - div ( A ( x ) · ∇ x u ) + | u | 4 / ( d - 2 ) u = 0 , ℝ t × ℝ x d , where A is a regular function valued in the space of d × d positive definite matrix and which is the identity outside a fixed compact.

How to cite

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Ibrahim, Slim, and Majdoub, Mohamed. "Solutions globales de l’équation des ondes semi-linéaire critique à coefficients variables." Bulletin de la Société Mathématique de France 131.1 (2003): 1-22. <http://eudml.org/doc/272486>.

@article{Ibrahim2003,
abstract = {Dans ce travail, on s’intéresse à l’existence globale de solutions classiques et au sens de Shatah-Struwe de l’équation des ondes critique à coefficients variables en dimension $d$ d’espace\[ \Box \_Au+|u|^\{\{4\}/\{(d-2)\}\}u=\partial ^2\_t u- \{\rm div\}(A(x)\cdot \nabla \_xu)+|u|^\{\{4\}/\{(d-2)\}\}u=0,\quad \mathbb \{R\}\_t\times \mathbb \{R\}^d\_x, \]où $A$ est une fonction régulière à valeurs dans les matrices $d\times d$ définies positives, valant l’identité en dehors d’un compact fixe.},
author = {Ibrahim, Slim, Majdoub, Mohamed},
journal = {Bulletin de la Société Mathématique de France},
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publisher = {Société mathématique de France},
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TY - JOUR
AU - Ibrahim, Slim
AU - Majdoub, Mohamed
TI - Solutions globales de l’équation des ondes semi-linéaire critique à coefficients variables
JO - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY - 2003
PB - Société mathématique de France
VL - 131
IS - 1
SP - 1
EP - 22
AB - Dans ce travail, on s’intéresse à l’existence globale de solutions classiques et au sens de Shatah-Struwe de l’équation des ondes critique à coefficients variables en dimension $d$ d’espace\[ \Box _Au+|u|^{{4}/{(d-2)}}u=\partial ^2_t u- {\rm div}(A(x)\cdot \nabla _xu)+|u|^{{4}/{(d-2)}}u=0,\quad \mathbb {R}_t\times \mathbb {R}^d_x, \]où $A$ est une fonction régulière à valeurs dans les matrices $d\times d$ définies positives, valant l’identité en dehors d’un compact fixe.
LA - fre
KW - wave equations; Strichartz estimates; global existence; geodesic cones
UR - http://eudml.org/doc/272486
ER -

References

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  1. [1] H. Bahouri & P. Gérard – « High frequency approximation of solutions to critical nonlinear wave equations », Amer. J. Math.121 (1999), p. 131–175. Zbl0919.35089MR1705001
  2. [2] H. Bahouri & J. Shatah – « Decay estimates for the critical semilinear wave equation », Ann. Inst. Henri Poincaré, Anal. non-linéaire 15 (1998), p. 783–789. Zbl0924.35084MR1650958
  3. [3] S. Gallot, D. Hulin & J. Lafontaine – Riemannian geometry, second éd., Springer-Verlag, 1993. Zbl0636.53001
  4. [4] J. Ginibre & G. Velo – « The global Cauchy problem for nonlinear Klein-Gordon equation », Math. Zeit.189 (1985), p. 487–505. Zbl0549.35108MR786279
  5. [5] —, « Generalized Strichartz inequalities for the wave equations », J. Funct. Anal.133 (1995), p. 50–68. Zbl0849.35064MR1351643
  6. [6] M. Grillakis – « Regularity and asymptotic behaviour of the wave equation with a critical nonlinearity », Ann. of Math.132 (1990), p. 485–509. Zbl0736.35067MR1078267
  7. [7] —, « Regularity for the wave equation with a critical nonlinearity », Comm. Pure Appl. Math. XLVI (1992), p. 749–774. Zbl0785.35065MR1162370
  8. [8] S. Ibrahim & M. Majdoub – « Existence globale de solutions pour l’équation des ondes semi-linéaire critique à coefficients variables », 328 (1999), p. 579–584. Zbl0931.35104MR1679994
  9. [9] L. Kapitanski – « Some generalizations of the Strichartz-Brenner inequality », Leningrad Math. J. 1 (1990), no. 3, p. 693–726. Zbl0732.35118MR1015129
  10. [10] —, « The Cauchy problem for a semilinear wave equation », Zap. Nauchn. Sem. Leningrad Otdel. Math. Inst. Steklov (LOMI) 181-182 (1990), p. 24–64 and 38–85. Zbl0733.35109
  11. [11] —, « The Cauchy problem for a semilinear wave equation II », J. Soviet Math., Série I 62 (1992), p. 2746–2777. MR1064097
  12. [12] —, « Global and unique weak solutions of nonlinear wave equations », Math. Research Letters 1 (1994), no. 2, p. 211–224. Zbl0841.35067MR1266760
  13. [13] G. Lebeau – « Optique non linéaire et ondes sur-critiques », Sém. équations dérivées partielles, École Polytechnique, Palaiseau, 1999-2000. Zbl1069.35512MR1813167
  14. [14] A. Majda – Compressible fluid flow and systems of conservation lows in several space variables, Appl. Math. Sci., vol. 53, Springer, 1984. Zbl0537.76001MR748308
  15. [15] J. Shatah & M. Struwe – « Regularity results for nonlinear wave equations », Ann. of Math. 138 (1993), no. 2, p. 503–518. Zbl0836.35096MR1247991
  16. [16] —, « Well-posedness in the energy space for semilinear wave equation with critical growth », IMRN7 (1994), p. 303–309. Zbl0830.35086MR1283026
  17. [17] H. Smith – « Une paramétrix pour les équations des ondes à coefficients 𝒞 1 , 1 », Ann. Inst. Fourier 48 (1998), no. 3, p. 797–835. Zbl0974.35068MR1644105
  18. [18] M. Struwe – « Semilinear wave equations », Bull. Amer. Math. Soc.26 (1992), p. 53–85. Zbl0767.35045
  19. [19] C. Zuily – « Solutions en grand temps d’équations d’ondes non linéaire », Sém. Bourbaki 1993/1994, Astérisque, vol. 227, Soc. Math. France, 1995, exposé no 779. Zbl0830.35088MR1321645

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