Espaces variationnels et mécanique

Klein, Joseph. "Espaces variationnels et mécanique." Annales de l'institut Fourier 12 (1962): 1-124. <http://eudml.org/doc/73785>.

@article{Klein1962,
abstract = {Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques $\Sigma $ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position $x^\alpha $ et de vitesse $y^\alpha $.$V$ désignant l’espace-temps de configuration, $\{\bf V\}$ l’espace fibré des vecteurs tangents, $W$ celui des directions tangentes à $V$, on caractérise $\Sigma $ par son lagrangien homogène $L$ et le tenseur-force $S$ antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.Dans la première partie, on étudie l’algèbre $H$ des formes semi-basiques sur $\{\bf V\}$ ou $W$ ; on définit en particulier une antidérivation $\dot\{d\}$, endomorphisme de degré 1 de $H$, intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de $S$-extrémale de $L$ relativement au champ tensoriel semi-basique $S$ et on considère sur $V$ une connexion linéaire de directions se ramenant pour $S=0$ à la connexion finslérienne définie par $L$, et dont les géodésiques sont les $S$-extrémales de $L$.Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme :\begin\{\}\Omega = d(\dot\{d\} L)+\{1\over 2\}S\_\{\alpha \beta \}dx^\alpha \wedge dx^\beta .\end\{\}On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes $C_0$ et $C_1$ entourant un même tube de trajectoires $\{\bf T\}$ est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de $\{\bf T\}$ de bord $C_0-C_1$.Les trajectoires de $\Sigma $ sont les $S$-extrémales de $L$ (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace $S$-finslérien.Étude des cas où $\Omega $ est fermée et où $\Omega $ admet un facteur intégrant.Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.},
author = {Klein, Joseph},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
language = {fre},
pages = {1-124},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {Espaces variationnels et mécanique},
url = {http://eudml.org/doc/73785},
volume = {12},
year = {1962},
}

TY - JOUR
AU - Klein, Joseph
TI - Espaces variationnels et mécanique
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1962
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 12
SP - 1
EP - 124
AB - Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques $\Sigma $ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position $x^\alpha $ et de vitesse $y^\alpha $.$V$ désignant l’espace-temps de configuration, ${\bf V}$ l’espace fibré des vecteurs tangents, $W$ celui des directions tangentes à $V$, on caractérise $\Sigma $ par son lagrangien homogène $L$ et le tenseur-force $S$ antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.Dans la première partie, on étudie l’algèbre $H$ des formes semi-basiques sur ${\bf V}$ ou $W$ ; on définit en particulier une antidérivation $\dot{d}$, endomorphisme de degré 1 de $H$, intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de $S$-extrémale de $L$ relativement au champ tensoriel semi-basique $S$ et on considère sur $V$ une connexion linéaire de directions se ramenant pour $S=0$ à la connexion finslérienne définie par $L$, et dont les géodésiques sont les $S$-extrémales de $L$.Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme :\begin{}\Omega = d(\dot{d} L)+{1\over 2}S_{\alpha \beta }dx^\alpha \wedge dx^\beta .\end{}On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes $C_0$ et $C_1$ entourant un même tube de trajectoires ${\bf T}$ est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de ${\bf T}$ de bord $C_0-C_1$.Les trajectoires de $\Sigma $ sont les $S$-extrémales de $L$ (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace $S$-finslérien.Étude des cas où $\Omega $ est fermée et où $\Omega $ admet un facteur intégrant.Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.
LA - fre
UR - http://eudml.org/doc/73785
ER -