Espaces variationnels et mécanique

Joseph Klein

Annales de l'institut Fourier (1962)

  • Volume: 12, page 1-124
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques Σ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position x α et de vitesse y α . V désignant l’espace-temps de configuration, V l’espace fibré des vecteurs tangents, W celui des directions tangentes à V , on caractérise Σ par son lagrangien homogène L et le tenseur-force S antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.Dans la première partie, on étudie l’algèbre H des formes semi-basiques sur V ou W  ; on définit en particulier une antidérivation d ˙ , endomorphisme de degré 1 de H , intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de S -extrémale de L relativement au champ tensoriel semi-basique S et on considère sur V une connexion linéaire de directions se ramenant pour S = 0 à la connexion finslérienne définie par L , et dont les géodésiques sont les S -extrémales de L .Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme : Ω = d ( d ˙ L ) + 1 2 S α β d x α d x β . On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes C 0 et C 1 entourant un même tube de trajectoires T est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de T de bord C 0 - C 1 .Les trajectoires de Σ sont les S -extrémales de L (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace S -finslérien.Étude des cas où Ω est fermée et où Ω admet un facteur intégrant.Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.

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Klein, Joseph. "Espaces variationnels et mécanique." Annales de l'institut Fourier 12 (1962): 1-124. <http://eudml.org/doc/73785>.

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abstract = {Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques $\Sigma $ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position $x^\alpha $ et de vitesse $y^\alpha $.$V$ désignant l’espace-temps de configuration, $\{\bf V\}$ l’espace fibré des vecteurs tangents, $W$ celui des directions tangentes à $V$, on caractérise $\Sigma $ par son lagrangien homogène $L$ et le tenseur-force $S$ antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.Dans la première partie, on étudie l’algèbre $H$ des formes semi-basiques sur $\{\bf V\}$ ou $W$ ; on définit en particulier une antidérivation $\dot\{d\}$, endomorphisme de degré 1 de $H$, intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de $S$-extrémale de $L$ relativement au champ tensoriel semi-basique $S$ et on considère sur $V$ une connexion linéaire de directions se ramenant pour $S=0$ à la connexion finslérienne définie par $L$, et dont les géodésiques sont les $S$-extrémales de $L$.Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme :\begin\{\}\Omega = d(\dot\{d\} L)+\{1\over 2\}S\_\{\alpha \beta \}dx^\alpha \wedge dx^\beta .\end\{\}On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes $C_0$ et $C_1$ entourant un même tube de trajectoires $\{\bf T\}$ est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de $\{\bf T\}$ de bord $C_0-C_1$.Les trajectoires de $\Sigma $ sont les $S$-extrémales de $L$ (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace $S$-finslérien.Étude des cas où $\Omega $ est fermée et où $\Omega $ admet un facteur intégrant.Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.},
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References

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  1. [1] P. APPEL, Traité de Mécanique Rationnelle, Gauthier-Villars, 1941. JFM67.0764.01
  2. [1] E. CARTAN, Les espaces de Finsler. Act., Hermann, 1934. Zbl0008.41805JFM60.0648.04
  3. [2] E. CARTAN, Leçons sur les invariants intégraux, Hermann, 1922. Zbl48.0538.02JFM48.0538.02
  4. [3] E. CARTAN, Les systèmes différentiels extérieurs, Hermann, 1945. Zbl0063.00734
  5. [1] H. CARTAN, Notions d'algèbre différentielle, Colloque de topologie de Bruxelles, 1950, Masson, 1951. 
  6. [2] H. CARTAN, Variétés différentiables-Groupes de Lie, Cours E.N.S., 1953-1954. Zbl0046.20713
  7. [1] J. FAVARD, Cours de Géométrie différentielle, Gauthier-Villars, 1957. Zbl0077.15002MR18,668g
  8. [2] J. FAVARD, Espaces de Finsler. Cours de la Faculté des Sciences de Paris, 1955-1956. 
  9. [1] F. GALLISSOT, Les formes extérieures en Mécanique (Thèse), Durand, Chartres, 1954. 
  10. [1] J. KLEIN, C. R., t. 238, pp. 2144-2146, 1954. Zbl0055.15706
  11. [2] J. KLEIN, C. R., t. 240, pp. 2208-2210, 1955. Zbl0068.37905
  12. [1] A. LICHNEROWICZ, Les relations intégrales d'invariance. Bulletin des Sc. math., tome LXX, 1946. Zbl0063.03549
  13. [2] A. LICHNEROWICZ, Les espaces variationnels généralisés, Annales de l'E.N.S., 63, 1946. 
  14. [3] A. LICHNEROWICZ, Théories relativistes de la gravitation et de l'électromagnétisme, Masson, 1955. Zbl0065.20704
  15. [4] A. LICHNEROWICZ, Théorie globale des connexions et des groupes d'holonomie, éd. Cremonese, Rome, 1955. Zbl0116.39101
  16. [5] A. LICHNEROWICZ, Géométrie des groupes de transformation, Dunod, 1958. Zbl0096.16001MR23 #A1329
  17. [6] A. LICHNEROWICZ, Les espaces de Finsler, Cours du Collège de France, 1959-1960. Zbl0030.26202
  18. [1] J. PÉRÈS, Mécanique générale, Masson, 1953. Zbl0051.40703MR15,170e
  19. [1] G. REEB, Sur les espaces de Finsler et les espaces de Cartan, Colloque de Géométrie différentielle, Strasbourg, 1953. Zbl0087.36801MR15,828d
  20. [1] J. L. SYNGE, University Toronto Studies, Appl. Math. série n° 2, 1936. Zbl0017.04104JFM63.1290.02
  21. [1] Y. THIRY, Étude mathématique des équations d'une théorie unitaire à quinze variables de champ (Thèse), Journal math. pures et appl. 9, 30, 1951. Zbl0045.45403MR13,787a
  22. [2] Y. THIRY, Remarques sur les équations canoniques de la Mécanique. Scuola Normale Superiore, Pisa, 1959. Zbl0093.16906MR22 #339

Citations in EuDML Documents

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  1. Joseph Klein, Notion de tenseur force en mécanique classique et relativiste
  2. Joseph Klein, Les systèmes dynamiques abstraits
  3. Anton Dekrét, A property of connections of mechanical systems of higher order
  4. L. Alboul, J. Mencía, R. Ramírez, N. Sadovskaia, On the determination of the potential function from given orbits
  5. Paulette Libermann, Lie algebroids and mechanics
  6. Joseph Klein, André Voutier, Formes extérieures génératrices de sprays
  7. Eduardo Martínez, Variational calculus on Lie algebroids
  8. Pierre Aimé, Sur la dynamique des systèmes mécaniques
  9. C. von Westenholz, Topology of vortices
  10. Norman E. Hurt, Differential geometry of canonical quantization

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