Pseudo-laplaciens II

Yves Colin de Verdière

Annales de l'institut Fourier (1983)

  • Volume: 33, Issue: 2, page 87-113
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In this paper we study a family of self-adjoint operators Δ a which are related to the Laplace operator on some Riemann surface with finite area and one hyperbolic cusp at infinity. We study first the spectral theory of these operators; then we give an application: we prove that, generically, the Laplace operator on that kind of surface has no eigenvalue imbedded in the continuum. Finally we give a conjecture relating the zeros of the Riemann zeta function with some eigenvalues of a self-adjoint operator : that is related with some recent work by D. Hejhal.

How to cite

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Colin de Verdière, Yves. "Pseudo-laplaciens II." Annales de l'institut Fourier 33.2 (1983): 87-113. <http://eudml.org/doc/74591>.

@article{ColindeVerdière1983,
abstract = {Dans cet article, nous étudions une famille d’opérateurs auto-adjoints $\Delta _a$ dérivés du laplacien sur une surface de Riemann d’aire finie et ayant au voisinage de l’infini la structure d’un cylindre $[b,+\infty [\times \{\bf R\}/\{\bf Z\}$ muni d’une métrique à courbure constante $-1$. Après avoir étudié la théorie spectrale de tels opérateurs, nous donnons, comme application, un théorème prévoyant l’absence générique de valeurs propres immergées dans le spectre continu du laplacien de ces surfaces. Nous montrons enfin comment ceci permet de conjecturer une relation entre les zéros de la fonction zêta de Riemann et les valeurs propres d’un certain opérateur auto-adjoint ; cette dernière partie est basée sur des travaux récents de D. Hejhal.},
author = {Colin de Verdière, Yves},
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LA - fre
KW - family of self adjoint operators derived from the Laplacian on a Riemann surface of finite area of constant curvature -1 and with one end; absence of eigenvalues in the continuous spectrum; zeroes of the Riemann zeta function
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References

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  1. [1] P. BÜSER, On Cheeger's inequality λ1 ≥ h2/4, Proc. of Symposia in Pure Mathematics, vol. 36 (1980). Zbl0432.58024
  2. [2] M. BERGER, P. GAUDUCHON et E. MAZET, Le spectre d'une variété riemannienne, Lecture Notes in Math., 194 (1971). Springer. Zbl0223.53034MR43 #8025
  3. [3] P. CARTIER, Analyse numérique d'un problème de valeurs propres à haute précision, preprint IHES (1978). Zbl0491.10018
  4. [4] J. CHAZARAIN, Formule de Poisson pour les variétés riemanniennes, Inv. Math., 24 (1974), 65-82. Zbl0281.35028MR49 #8062
  5. [5] P. CARTIER et D. HEJHAL, Sur les zéros de la fonction zêta de Selberg, Preprint IHES (1979). Zbl0496.10012
  6. [6] E. CODDINGTON et N. LEVINSON, Theory of ordinary differential equations, Mc Graw-Hill (1965). Zbl0064.33002
  7. [7] Y. COLIN de VERDIÈRE, Pseudo-Laplaciens I, Ann. Inst. Fourier, 32, 3 (1982), 275-286. Zbl0489.58034MR84k:58221
  8. [8] Y. COLIN de VERDIÈRE, Une nouvelle démonstration du prolongement méromorphe des séries d'Eisenstein, C.R.A.S., Paris, 293 (1981), 361-363. Zbl0478.30035MR83a:10038
  9. [9] Y. COLIN de VERDIÈRE, Quasi-modes sur les variétés riemanniennes, Inv. Math., 43 (1977), 15-52. Zbl0449.53040MR58 #18615
  10. [10] H. DONNELLY, On the point spectrum for finite volume symmetric spaces of negative curvature, Comm. P.D.E., 6 (1981), 963-982. Zbl0464.35066MR83a:58090
  11. [11] H. DUISTERMAAT et V. GUILLEMIN, The spectrum of positive elliptic operators and periodic geodesics, Inv. Math., 29 (1975), 39-79. Zbl0307.35071
  12. [12] V. GUILLEMIN, Sojourn times and asymptotic properties of the scattering matrix, RIMS Symp., Kyoto, 1976. Zbl0381.35064MR56 #6759
  13. [13] V. GUILLEMIN et R. MELROSE, The Poisson summation formula for manifolds with boundary, Advances in Math., 32 (1979), 204-232. Zbl0421.35082MR80j:58066
  14. [14] L. HÖRMANDER, Fourier integral operators I, Acta Mathematica, 127 (1971), 79-183. Zbl0212.46601MR52 #9299
  15. [15] D. HEJHAL, The Selberg trace formula and the Riemann zêta function, Duke Math. J., 43 (1976), 441-482. Zbl0346.10010MR54 #2591
  16. [16] D. HEJHAL, Some observations concerning eigenvalues of the laplacian and Dirichlet L-series. Recent progress in analytic number theory, Symp. Durham 1979, vol. 2 (1981), 95-110. Zbl0457.10009
  17. [17] T. KUBOTA, Elementary theory of Eisenstein series, John Wiley (1973). Zbl0268.10012MR55 #2759
  18. [18] S. LANG, SL2 (R), Addison-Wesley (1975). 
  19. [19] P. LAX et R. PHILLIPS, Scattering theory for automorphic functions, Ann. of Math. Studies, 87 (1976). Zbl0362.10022MR58 #27768
  20. [20] Y. MOTOHASHI, A note on the mean-value of the Dedekind zêta function of a quadratic field, Math. Ann., 188 (1970), 123-127. Zbl0198.06902MR42 #212
  21. [21] W. MÜLLER, Spectral theory of non-compact manifolds with cusps and a related trace formula, Preprint IHES, déc. 1980. 
  22. [22] G. POITOU, Sur les petits discriminants, séminaire D-P-P (1976-1977), exposé n° 6. Zbl0393.12010
  23. [23] H. POTTER et E. TITCHMARSH, The zeros of Epstein zêta functions, Proc. London Math. Soc., 39 (1935), 372-384. Zbl0011.39101JFM61.0327.03
  24. [24] B. RANDOL, Cylinders in Riemann surfaces, Comm. Math. Helv., 54 (1979), 1-5. Zbl0401.30036MR80j:30065
  25. [25] E. TITCHMARSH, The theory of Riemann zêta function, Cambridge tracts in Math. and Math. Phys. (ed. 1964). Zbl0042.07901
  26. [26] K. UHLENBECK, Generic properties of eigenfunctions, Amer. J. Math., 98 (1976), 1059-1078. Zbl0355.58017MR57 #4264
  27. [27] A. VENKOV, Russian Math. Surveys, 34 (1979), 79-153. 

Citations in EuDML Documents

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  1. Laurent Guillopé, Théorie spectrale de quelques variétés à bouts
  2. Y. Colin de Verdière, Valeurs propres immergées dans le spectre continu d'une surface de Riemann
  3. P. D. Hislop, Spectral analysis of non-compact manifolds using commutator methods
  4. Yves Colin de Verdière, Résonances
  5. Pierre Bérard, Transplantation et isospectralité I
  6. Tanya Christiansen, Maciej Zworski, Spectral asymptotics for manifolds with cylindrical ends
  7. Werner Müller, Relative determinants of elliptic operators and scattering theory

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