Rationalité et valeurs de fonctions L en cohomologie cristalline

Jean-Yves Étesse

Annales de l'institut Fourier (1988)

  • Volume: 38, Issue: 4, page 33-92
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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In his Bourbaki talk 409, Katz conjectured the p -adic meromorphy of the function L ( X , E , t ) attached to a smooth variety X over a finite field F q ( q = p a ) and to an F -crystal E on X . If X is proper and smooth over F q we prove that L is rational and given by the usual formula using the action of Frobenius on crystalline cohomology with coefficients in E ; this result was only known, via “Weil conjectures”, for particular unit-root F -crystals: those issued of a representation of π 1 ( X ) through a finite quotient. The proof of the theorem involves the formalism of a cohomology class associated to a morphism of crystals, extending the fundamental class of an algebraic cycle, and leading to a Lefschetz trace formula. When E is a unit-root F -crystal the link between crystalline cohomology and De Rham-Witt complex with coefficients in E enables us to interpret zeroes and poles of L of the form t = q - r , r an integer. Under certain hypotheses this complex yields also equivalents of the L function in the neighbourhood of the preceding poles: these results extend those of Milne for zeta functions.

How to cite

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Étesse, Jean-Yves. "Rationalité et valeurs de fonctions $L$ en cohomologie cristalline." Annales de l'institut Fourier 38.4 (1988): 33-92. <http://eudml.org/doc/74817>.

@article{Étesse1988,
abstract = {Dans l’exposé Bourbaki 409, Katz conjecture la méromorphie $p$-adique de la fonction $L(X,E,t)$ attachée à une variété $X$ lisse sur un corps fini $\{\bf F\}_q$ ($q=p^a$) et à un $F$-cristal $E$ sur $X$. Si $X$ est propre et lisse sur $\{\bf F\}_q$ nous prouvons que $L$ est rationnelle et fournie par l’expression habituelle utilisant l’action du Frobenius sur la cohomologie cristalline à coefficients dans $E$; ce résultat n’était connu, via les “conjectures de Weil”, que pour des $F$-cristaux unités particuliers: ceux provenant d’une représentation de $\pi _1(X)$ factorisable par un quotient fini. Ce théorème nécessite le développement d’un formalisme de classe de cohomologie associée à un morphisme de cristaux, généralisant la classe fondamentale d’un cycle algébrique, et amenant à une formule des traces de Lefschetz.Lorsque $E$ est un $F$-cristal unité le lien entre cohomologie cristalline et complexe de De Rham-Witt à coefficients dans $E$ permet alors d’interpréter les zéros et pôles de $L$ de la forme $t = q^\{-r\}$, $r$ entier. Sous certaines hypothèses ce complexe fournit également des équivalents de $L$ au voisinage des pôles précédents : ces résultats généralisent ceux de Milne pour les fonctions zêta.},
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