Espaces variationnels et mécanique

Joseph Klein

Annales de l'institut Fourier (1962)

  • Volume: 12, page 1-124
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

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Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques Σ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position x α et de vitesse y α . V désignant l’espace-temps de configuration, V l’espace fibré des vecteurs tangents, W celui des directions tangentes à V , on caractérise Σ par son lagrangien homogène L et le tenseur-force S antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.Dans la première partie, on étudie l’algèbre H des formes semi-basiques sur V ou W  ; on définit en particulier une antidérivation d ˙ , endomorphisme de degré 1 de H , intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de S -extrémale de L relativement au champ tensoriel semi-basique S et on considère sur V une connexion linéaire de directions se ramenant pour S = 0 à la connexion finslérienne définie par L , et dont les géodésiques sont les S -extrémales de L .Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme : Ω = d ( d ˙ L ) + 1 2 S α β d x α d x β . On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes C 0 et C 1 entourant un même tube de trajectoires T est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de T de bord C 0 - C 1 .Les trajectoires de Σ sont les S -extrémales de L (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace S -finslérien.Étude des cas où Ω est fermée et où Ω admet un facteur intégrant.Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.

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Klein, Joseph. "Espaces variationnels et mécanique." Annales de l'institut Fourier 12 (1962): 1-124. <http://eudml.org/doc/73785>.

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abstract = {Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques $\Sigma $ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position $x^\alpha $ et de vitesse $y^\alpha $.$V$ désignant l’espace-temps de configuration, $\{\bf V\}$ l’espace fibré des vecteurs tangents, $W$ celui des directions tangentes à $V$, on caractérise $\Sigma $ par son lagrangien homogène $L$ et le tenseur-force $S$ antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.Dans la première partie, on étudie l’algèbre $H$ des formes semi-basiques sur $\{\bf V\}$ ou $W$ ; on définit en particulier une antidérivation $\dot\{d\}$, endomorphisme de degré 1 de $H$, intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de $S$-extrémale de $L$ relativement au champ tensoriel semi-basique $S$ et on considère sur $V$ une connexion linéaire de directions se ramenant pour $S=0$ à la connexion finslérienne définie par $L$, et dont les géodésiques sont les $S$-extrémales de $L$.Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme :\begin\{\}\Omega = d(\dot\{d\} L)+\{1\over 2\}S\_\{\alpha \beta \}dx^\alpha \wedge dx^\beta .\end\{\}On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes $C_0$ et $C_1$ entourant un même tube de trajectoires $\{\bf T\}$ est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de $\{\bf T\}$ de bord $C_0-C_1$.Les trajectoires de $\Sigma $ sont les $S$-extrémales de $L$ (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace $S$-finslérien.Étude des cas où $\Omega $ est fermée et où $\Omega $ admet un facteur intégrant.Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.},
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Citations in EuDML Documents

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