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A primitive multiple curve is a Cohen-Macaulay irreducible projective curve Y that can be locally embedded in a smooth surface, and such that Y red is smooth. We study the deformations of Y to curves with smooth irreducible components, when the number of components is maximal (it is then the multiplicity n of Y). We are particularly interested in deformations to n disjoint smooth irreducible components, which are called fragmented deformations. We describe them completely. We give also a characterization...

Le sujet de cet article est le groupe de Picard de la variété de modules $M(r,c_1,c_2)$ des faisceaux algébriques semi-stables de rang $r$ et de classes de Chern $c_1,c_2$ sur ${\mathbf{P}}_2\left(\mathbf{C}\right)$. Le premier résultat est que $M(r,c_1,c_2)$ est localement factorielle, ce qui permet d’identifier Pic$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ et le groupe des classes d’équivalence linéaire des diviseurs de Weil de $M(r,c_1,c_2))$. Il existe une unique application $\delta :\mathbf{Q}\to \mathbf{Q}$ telle que dim$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)\>0$ si et seulement si $(c_2-(r-1)c_1^2/2r)/r\>\delta (c_1/r)$. Si on a égalité, Pic$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ est isomorphe à $\mathbf{Z}$, et si l’inégalité est stricte, Pic$\left(M\right(r,c_1,c_2\left)\right)$ est isomorphe à ${\mathbf{Z}}^2$. On donne ensuite...

Soit $X$ une variété algébrique projective lisse irréductible. On appelle de faisceaux sur $X$ une famille $ℱ$ de faisceaux cohérents sur $X$ paramétrée par une variété intègre $M$, possédant les propriétés suivantes : $ℱ$ est plate sur $M$; pour tous $x,y\in M$ distincts, les faisceaux ${ℱ}_x$ et ${ℱ}_y$ sur $X$ ne sont pas isomorphes et $ℱ$ est une déformation complète de ${ℱ}_x$; enfin $ℱ$ possède une propriété universelle locale évidente. On a aussi la notion de variété de modules fins , où $ℱ$ est remplacée par une famille $({ℱ}_i),{ℱ}_i$ étant définie...

This paper is devoted to the study of coherent sheaves on non reduced curves that can be locally embedded in smooth surfaces. If Y is such a curve then there is a filtration C ⊂ C ⊂ ... ⊂ C = Y such that C is the reduced curve associated to Y, and for very P ∈ C there exists z ∈ O such that (z) is the ideal of C in O. We define, using canonical filtrations, new invariants of coherent sheaves on Y: the and , and use them to state a for sheaves on Y. We define , which are locally isomorphic to direct...

Une est une variété de Cohen-Macaulay $Y$ telle que $C=Y_{red}$ soit une courbe lisse irréductible, et que $Y$ puisse être localement plongée dans une surface lisse. Soient $T$ une courbe lisse et $t_0\in T$. Soient $𝒟⟶T$ une famille plate de courbes lisses irréductibles, et $C={𝒟}_{t_0}$. Alors le $n$-ième voisinage infinitésimal de $C$ dans $𝒟$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $n$, et le faisceau d’idéaux ${ℐ}_C$ de $C$ dans $C_n$ est le fibré trivial sur la courbe induite $C_{n-1}$ de multiplicité $n-1$. Réciproquement, on montre que toute courbe...

Dans cet article, on donne un début de classification des fibrés vectoriels algébriques uniformes de type de décomposition $(1,0,...,0,-1)$ sur ${\mathbf{P}}_2$. Les seuls tels fibrés de rang 4 sont les fibrés “évidents” et sont donc homogènes. Enfin, on montre qu’un fibré vectoriel uniforme de type $(1,0,...,0,-1)$ sur ${\mathbf{P}}_2$ est stable si et seulement si ce fibré et son dual n’ont pas de sections globales non triviales.

We extend the methods of geometric invariant theory to actions of non–reductive groups in the case of homomorphisms between decomposable sheaves whose automorphism groups are non–reductive. Given a linearization of the natural action of the group $\mathrm{Aut}\left(E\right)\times \mathrm{Aut}\left(F\right)$ on Hom(E,F), a homomorphism is called stable if its orbit with respect to the unipotent radical is contained in the stable locus with respect to the natural reductive subgroup of the automorphism group. We encounter effective numerical conditions for...