Soit $G$ un groupe algébrique semi-simple complexe, $U$ un sous-groupe unipotent maximal de $G$, $T$ un tore maximal de $G$ normalisant $U$. Si $V$ est un $G$-module rationnel de dimension finie, alors $G$ opère sur l’algèbre $\mathbf{C}\left[V\right]$ des fonctions polynomiales sur $V$; la structure de $G$-module de $\mathbf{C}\left[V\right]$ est décrite par la $T$-algèbre $\mathbf{C}[V{]}^U$ des $U$-invariants de $\mathbf{C}\left[V\right]$. Cette algèbre est de type fini et multigraduée (par le degré de $\mathbf{C}\left[V\right]$ et le poids par rapport à $T$). On donne une formule intégrale pour la série de Poincaré de cette...

The aim of this paper is to study the α-semi-Fredholm operators in a nonseparable Hilbert space H for all cardinals α with ${\aleph }_0\le \alpha \le dimH$. In the first part, we find the relation between ${\gamma }_{\alpha }\left(T\right)$ and $c\left({\pi }_{\alpha }\left(T\right)\right)$ for all ${\aleph }_0$-regular cardinals α, where ${\gamma }_{\alpha }$ is the reduced minimum modulus of weight α, c is the reduced minimum modulus (in a C*-algebra) and ${\pi }_{\alpha }$ is the canonical surjection from B(H) onto $C_{\alpha }\left(H\right)=B\left(H\right)/K_{\alpha }\left(H\right)$. We study the continuity points of the maps $c_{\alpha }:T\to c\left({\pi }_{\alpha }\left(T\right)\right)$ and ${\gamma }_{\alpha }:T\to {\gamma }_{\alpha }\left(T\right)$. In the second part, we prove some approximation results for semi-Fredholm...

On considère un opérateur $L$ défini par $$Lu=\sum _{i=1}^n{D}_i{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)-\sum _{k=1}^N{D}_t[{\alpha }_{p,k}{u}_k]$$ où $u$ est une application de $\bar{\Omega }\times [0,T]$ dans ${\mathbf{R}}^N$ ($\Omega$ ouvert quelconque de $R^n$), ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ $(1\le i\le n;1\le p\le N)$ sont des opérateurs du premier ordre ${\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)={\sum }_{j,k}{a}_{ijk}^p{D}_j{u}_k$ dans le cas linéaire), ${\alpha }_{pk}$ et $a_{ijk}^p$ sont des fonctions non nécessairement bornées de $\bar{\Omega }\times [0,T]$. On démontre, sous certaines hypothèses, que les solutions de $-2uLu\le c_1{u}^2+\mu {\sum }_{i,p}{D}_i{u}_p.{\mathbf{P}}_{i,p}\left(u\right)$ ($c_1$ fonction de $\bar{\Omega }\times [0,T]$, $\mu$ constante positive inférieure à 2), vérifient : $t\to {\int }_{\Omega }{\Phi }^2{\alpha }_{p,k}{u}_p.u_{k}dx$ est décroissante (${\Phi }^2$ fonction poids convenablement choisie). De ce résultat, on obtient...

On construit, sur une variété riemannienne $X$ de dimension $2$ ou $3$, les extensions autoadjointes ${\Delta }_{\alpha ,x_0}(\alpha \in \mathbf{R}/\pi \mathbf{Z})$ de la restriction du laplacien aux fonctions nulles au voisinage d’un point $x_0$ de $X$. On calcule explicitement les valeurs propres de ${\Delta }_{\alpha ,x_0}$.

Nous montrons principalement que, si $f\ge 0$ est une fonction différentiable sur un intervalle $[0,T]$, si sa dérivée est höldérienne d’ordre $\alpha$ avec $0\<\alpha \le 1$ et si $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$ (resp. $f^{\text{'}}\left(T\right)=0)$ quand $f\left(0\right)=0$ (resp. $f\left(T\right)=0)$ alors $f^{1/(1+\alpha )}$, qui est absolument continue, admet (presque partout) une dérivée bornée presque partout.

Let $W_t:0\le t\le 1$ be a linear Brownian motion, starting from 0, defined on the canonical probability space (Ω,ℱ,P). Consider a process $u_t:0\le t\le 1$ belonging to the space ${ℒ}^{2,1}$ (see Definition II.2). The Skorokhod integral $U_t={ʃ}_0^{t}u\delta W$ is then well defined, for every t ∈ [0,1]. In this paper, we study the Besov regularity of the Skorokhod integral process $t\mapsto U_t$. More precisely, we prove the following THEOREM III.1. (1)If 0 < α < 1/2 and $u\in {ℒ}^{p,1}$ with 1/α < p < ∞, then a.s. $t\mapsto U_t\in {ℬ}_{p,q}^{\alpha }$ for all q ∈ [1,∞], and $t\to U_t\in {ℬ}_{p,\infty }^{\alpha ,0}$. (2) For every even...

$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B\left(\Lambda \right)$ l’ensemble normal associé. Pour $A\subset ℝ$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A=B\left(\Lambda \right)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A\subset \mathbb{Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q\in ℝ\left[X\right]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles...