Soient ${𝒦}_1$ et ${𝒦}_2$ deux espaces de Krein de fonctions analytiques dans le disque unité invariants pour l’opérateur de déplacement à gauche $R_0(R_{0}f\left(z\right)=\left(f\right(z)-f(0\left)\right)/z)$ et soit $A$ un opérateur linéaire continu de ${𝒦}_1$ dans ${𝒦}_2$ dont l’adjoint commute avec $R_0$. Nous étudions les dilatations $B$ de $A$ qui conservent cette propriété de commutation et pour lesquelles les formes hermitiennes définies par $I-A{A}^{*}$ et $I-B{B}^{*}$ ont le même nombre de carrés négatifs. Nous obtenons ainsi une version du théorème de dilatation des commutants d’opérateurs...

Le but de cet article est l’étude de la compétition Réaction-Diffusion pour un problème de type ${\displaystyle \beta {\left(w\right)}_t-d_{\epsilon }diva(x,Dw)+r_{\epsilon }g\left(x,\beta \left(w\right)\right)=f,}$ où $\mathbf{a}$ est un opérateur de Lerray-Lions, $\beta$ est une fonction continue croissante et la réaction $g$ est une fonction croissante qui dépend de l’espace $x$. On suppose que les coefficients de diffusion $d_{\epsilon }$ et de Réaction $r_{\epsilon }$ dépendent du paramètre $\epsilon$ avec $d_{\epsilon }$ et/ou $r_{\epsilon }$ tends vers $+\infty$ lorsque ${\displaystyle \epsilon \to 0}$. Dans le cas où, le coefficient de réaction est très rapide, nous étudions le comportement asymptotique lorsque ${\displaystyle t\to \infty }$...

Ce papier porte sur l’étude mathématique d’une équation du type de Grad-Mercier qui décrit, dans certaines circonstances, l’équilibre d’un plasma confiné [H. Grad, P.N. Hu et D.C. Stevens, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 72,n${}^{\circ }$10 (1975), 3789–3793, C. Mercier, Publication of Euratom, CEA, Luxembourg (1974), C. Mercier, Communications personnelles à R. Temam et aux auteurs]. Il s’agit de trouver une fonction “régulière” $u$ solution du système $$\left\{\begin{array}{cc}-\Delta u+\lambda g\left[\delta \right(u\left)\right]=0\hfill & \text{dans}\Omega ,\hfill \\ u=\text{constante}\text{(inconnue)}\>0\hfill & \text{sur}\partial \Omega ,\hfill \\ {\int }_{\partial \Omega }\frac{\partial u}{\partial n}=I,\hfill \end{array}\right.$$ où $\Omega$ est un ouvert borné...

Let $J_k\left(n\right):=n^k{\prod }_{p\mid n}(1-p^{-k})$ (the $k$-th Jordan totient function, and for $k=1$ the Euler phi function), and consider the associated error term $$E_k\left(x\right):=\sum _{n\le x}{J}_k\left(n\right)-\frac{x^{k+1}}{(k+1)\zeta (k+1)}.$$ When $k\ge 2$, both $i_k:=E_k\left(x\right)x^{-k}$ and $s_k:=lim\; sup{E}_k\left(x\right)x^{-k}$ are finite, and we are interested in estimating these quantities. We may consider instead $$Ik:=\underset{n\in \mathbb{N},n\to \infty }{lim\; inf}$$ d 1 (d)dk ( 12 - { nd} ), since from [AS] $i_k=I_k-{\left(\zeta (k+1)\right)}^{-}1$ and from the present paper $s_k=-i_k$. We show that $I_k$ belongs to an interval of the form $$\left(\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}-\frac{1}{(k-1)N^{k-1}},\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}\right),$$ where $N=N\left(k\right)\to \infty$ as $k\to \infty$. From a more practical point of view we describe...

$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement en fraction continue de $\alpha$. La suite $\left(xs\right(n)+y{\alpha }_{\alpha }(n){)}_{n\in \mathbf{N}}$ est équirépartie modulo 1 si et seulement si $x$ ou $y$ est irrationnel.

$0.1${ll (uij+aij(x,u, u))=K(x) f(x,u, u) in Rn u| = . dove la curvatura $K$ soddisfa $K>0$ in $\mathrm{\Omega }$, $K=0$ $dK\ne 0$ su $\partial \mathrm{\Omega }$, ed $f$ è strettamente positivo. Proviamo che se i dati $\mathrm{\Omega }$, $a_{ij}$, $K$, $f$, $\phi$ sono in una classe di Gevrey, ogni soluzione $C^3$ ($C^2$ se $n=2$) del problema $\left(0.1\right)$ sta nella stessa classe di Grevey su $\overline{\mathrm{\Omega }}$.

Dans cet article, on montre de manière explicite que toute forme $\mathbb{Z}$-bilinéaire symétrique non dégénérée de rang pair, et non $\mathbb{Q}$-isomorphe au plan hyperbolique, se réalise comme forme trace hermitienne amplifiée d’une algèbre $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$, où $\alpha$ est un entier algébrique. Plus précisemment, on montre que pour tout $S\in M_{2n}\left(\mathbb{Z}\right)$ symétrique, avec det$S\ne 0$ (et det$S\neg \equiv -1$ (mod ${\mathbb{Q}}^{*2}$) si $n=1$), il existe un entier algébrique $\alpha$, une involution $\mathbb{Q}$-linéaire $\sigma$ de $\mathbb{Q}\left(\alpha \right),\lambda \in \mathbb{Q}\left(\alpha \right)\sigma$-symétrique et une $\mathbb{Z}$-base $v_1,\cdots ,v_{2n}$ d’un idéal de $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$ tels que $S=\left(T{r}_{\mathbb{Q}\left(\alpha \right)/\mathbb{Q}}\left(\lambda v_i{v}_j^{\sigma }\right)\right)$.