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Problèmes de recouvrement et points exceptionnels pour la marche aléatoire et le mouvement brownien

Zhan Shi (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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La marche aléatoire (ou marche au hasard) est un objet fondamental de la théorie des probabilités. Un des problèmes les plus intéressants pour la marche aléatoire (ainsi que pour le mouvement brownien, son analogue dans un contexte continu) est de savoir comment elle recouvre des ensembles où se trouvent les points qui sont souvent (ou au contraire, rarement) visités, et combien il y a de tels points. Les travaux de Dembo, Peres, Rosen et Zeitouni permettent de résoudre plusieurs conjectures...

Capacité analytique et le problème de Painlevé

Hervé Pajot (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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Le problème de Painlevé consiste à trouver une caractérisation géométrique des sous-ensembles du plan complexe qui sont effaçables pour les fonctions holomorphes bornées. Ce problème d’analyse complexe a connu ces dernières années des avancées étonnantes, essentiellement grâce au dévelopement de techniques fines d’analyse réelle et de théorie de la mesure géométrique. Dans cet exposé, nous allons présenter et discuter une solution proposée par X. Tolsa en termes de courbure de Menger...

Perturbation stochastique de processus de rafle

Frédéric Bernicot (2008-2009)

Séminaire Équations aux dérivées partielles

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Lors de cet exposé, nous nous intéressons à l’étude de perturbations stochastiques de certaines inclusions différentielles du premier ordre  : les processus de rafle par des ensembles uniformément prox-réguliers. Ce travail nous amène à combiner la théorie des processus de rafle et celle traitant de la reflexion d’un mouvement brownien sur la frontière d’un ensemble. Nous donnerons des résultats traitant du caractère bien-posé de ces inclusions différentielles stochastiques et de leur...

Méthodes de changement d’échelles en analyse complexe

François Berteloot (2006)

Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques

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Nous mettons en perspective différentes méthodes de changement d’échelles et illustrons leur pertinence en mettant sur pieds des preuves simples et élémentaires de plusieurs théorèmes biens connus en analyse ou géométrie complexe. Les situations abordées sont variées et la plupart des théorèmes démontrés sont des classiques initialement obtenus entre la fin du  et la seconde moitié du  siècle.

Exploration d’un mode d’écriture de la généralité : l’article de Poincaré sur les lignes géodésiques des surfaces convexes (1905)

Anne Robadey (2004)

Revue d'histoire des mathématiques

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L’analyse de l’article de Poincaré sur les géodésiques fait apparaître qu’il entretient des liens complexes avec les travaux antérieurs de Poincaré en mécanique céleste. Nous montrerons que le problème des géodésiques des surfaces convexes est traité comme un paradigme grâce auquel Poincaré explicite une méthode qui n’était présentée qu’à l’état d’ébauche dans ses ouvrages de mécanique céleste. Cette étude de cas permet ainsi de mettre en évidence l’utilisation par Poincaré d’une technique...

Écarts entre nombres premiers successifs

Emmanuel Kowalski (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs p n < p n + 1 est, en moyenne, de l’ordre de ln ( p n ) . Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée ( p n + 1 - p n ) / ln ( p n ) pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que p n + 1 - p n < 16 infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées...

Progressions arithmétiques dans les nombres premiers

Bernard Host (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Récemment, B. Green et T. Tao ont montré que : répondant ainsi à une question ancienne à la formulation particulièrement simple. La démonstration n’utilise aucune des méthodes “transcendantes” ni aucun des grands théorèmes de la théorie analytique des nombres. Elle est écrite dans un proche de celui de la théorie ergodique, en particulier de celui de la preuve par Furstenberg du théorème de Szemerédi, mais elle n’utilise aucun théorème provenant de cette théorie. La méthode peut ainsi...