Correspondances de Hecke, action de Galois et la conjecture d’André–Oort

Rutger Noot

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La conjecture de modularité de Serre : le cas de conducteur $1$

Jean-Pierre Wintenberger (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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La conjecture dit qu’une représentation continue irréductible impaire du groupe de Galois de $Q$ dans un espace vectoriel de dimension $2$ sur un corps fini $F$ de caractéristique $p$ provient d’une forme modulaire. C. Khare vient de la prouver pour les représentations qui sont non ramifiées hors de $p$ .

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer $𝐩$ -adique

Pierre Colmez (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l’ordre $r_{\infty}$ du zéro en $s = 1$ de la fonction $L$ d’une courbe elliptique $E$ définie sur $𝐐$ est égal au rang $r$ du groupe de ses points rationnels. On sait démontrer cette conjecture si $r_{\infty} = 0$ ou $1$ , mais on n’a aucun résultat reliant $r_{\infty}$ et $r$ si $r_{\infty} \geq 2$ . Nous expliquerons comment Kato démontre que la fonction $L$ $p$ -adique attachée à $E$ a, en $s = 1$ , un zéro d’ordre supérieur ou égal à $r$ .

Lemme fondamental et endoscopie, une approche géométrique

Jean-François Dat (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

Similarity:

Le “principe de fonctorialité”, conjecturé par Langlands à la fin des années 60, est un moyen remarquablement synthétique d’unifier et exprimer certains liens profonds entre formes automorphes, arithmétique et géométrie algébrique. Son apparente simplicité contraste fortement avec la difficulté des techniques utilisées pour l’aborder. Parmi celles-ci, la stabilisation de la formule des traces d’Arthur–Selberg bute depuis 25 ans sur une conjecture d’analyse harmonique sur des groupes...

Nouvelles approches de la propriété (T) de Kazhdan

Alain Valette (2002-2003)

Séminaire Bourbaki

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Un groupe localement compact $G$ a la propriété (T) de Kazhdan si la $1$ -cohomologie de tout $G$ -module hilbertien est nulle. Cette propriété de rigidité de la théorie des représentations de $G$ a trouvé des applications qui vont de la théorie ergodique à la théorie des graphes. Pendant près de 30 ans, les seuls exemples connus de groupes avec la propriété (T), provenaient des groupes algébriques simples sur les corps locaux, ou de leurs réseaux. La situation a radicalement changé ces dernières...

Genres de Todd et valeurs aux entiers des dérivées de fonctions $L$

Christophe Soulé (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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La géométrie d’Arakelov étudie les fibrés vectoriels sur une variété algébrique $X$ définie sur les entiers, munis d’une métrique hermitienne lisse sur le fibré holomorphe associé (sur la variété analytique des points complexes de $X$ ). Un théorème de “Riemann-Roch arithmétique” calcule le covolume du réseau euclidien des sections globales d’un tel fibré. Dans cette formule, le genre de Todd comporte un terme complémentaire, défini par une série formelle dont les coefficients font intervenir...

Obstructions au principe de Hasse et à l’approximation faible

Emmanuel Peyre (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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Si un système d’équations polynomiales à coefficients entiers admet une solution dans $𝐐^{n}$ , il en admet sur tout complété $p$ -adique ou réel de $𝐐$ . La réciproque a été démontrée par Hasse pour les quadriques, mais elle est fausse en général. Une grande partie des contre-exemples connus peuvent être expliqués à l’aide de l’obstruction de Brauer-Manin, basée sur la théorie du corps de classe. Il est donc naturel de se demander si, pour certaines classes de variétés, cette obstruction est la...

Écarts entre nombres premiers successifs

Emmanuel Kowalski (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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Le théorème des nombres premiers dit que la distance entre deux nombres premiers consécutifs $p_{n} < p_{n + 1}$ est, en moyenne, de l’ordre de $ln (p_{n})$ . Récemment, D. Goldston, J. Pintz et C. Yıldırım sont parvenus à démontrer que la distance normalisée $(p_{n + 1} - p_{n}) / ln (p_{n})$ pouvait devenir arbitrairement petite, améliorant spectaculairement les résultats connus auparavant. Sous des hypothèses considérées comme raisonnables, ils parviennent à montrer que $p_{n + 1} - p_{n} < 16$ infiniment souvent. Leur méthode est une très jolie application d’idées...

Formes quadratiques et cycles algébriques

Bruno Kahn (2004-2005)

Séminaire Bourbaki

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Introduite par Witt en 1937, la théorie des formes quadratiques sur un corps joue un rôle central dans la démonstration des conjectures de Milnor par Voevodsky via les travaux pionniers de Rost qui y interviennent. Réciproquement, les méthodes de Rost et Voevodsky utilisant la théorie des motifs et les opérations de Steenrod motiviques révolutionnent la théorie des formes quadratiques et ont conduit à la démonstration de résultats de base qui semblaient auparavant inaccessibles. On expliquera...

Motifs de dimension finie

Yves André (2003-2004)

Séminaire Bourbaki

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On sait que les groupes de Chow d’une variété projective ne sont pas de type fini, et ne peuvent même être paramétrés par une variété algébrique, en général. Pourtant, S.-I. Kimura et P. O’Sullivan ont conjecturé (indépendamment l’un de l’autre) que les motifs de Chow, définis en termes de correspondances algébriques modulo l’équivalence rationnelle, sont de “dimension finie”au sens où, tout comme les super-fibrés vectoriels, ils sont somme d’un facteur dont une puissance extérieure...

Espaces analytiques $p$ -adiques au sens de Berkovich

Antoine Ducros (2005-2006)

Séminaire Bourbaki

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Il y a une quinzaine d’années, Berkovich a proposé une nouvelle approche de la géométrie analytique sur un corps ultramétrique complet. Elle fournit, contrairement aux précédentes, des espaces localement compacts et localement connexes par arcs. Elle s’est révélée particulièrement fructueuse pour l’étude d’une grande variété de questions ; citons par exemple les cycles évanescents ou quelques analogues $p$ -adiques de théories classiques : potentiel, dessins d’enfants, intégration le long...