$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement de $\alpha$ en fraction continue. Dans un article paru aux Annales de l’Institut Fourier (31 (1981), 1–15), Coquet, Rhin et Toffin montrent que, lorsque $x$ ou $y$ est irrationnel, la suite $xs+y{\sigma }_{\alpha }$ est équirépartie modulo 1. On précise ici que l’équirépartition est uniforme.

Pour toute suite $\{{\lambda }_n{\}}_{n\in N}$, de nombres réels, vérifiant : $1/{lim}_{n\to \infty }\{{\lambda }_n-n\}=0$, et $2/{\lambda }_n\ne n$ pour une infinité de valeurs de $n$, on montre l’existence de fonctions moyennes-périodiques non bornées à spectre dans $\left\{{\lambda }_n\right\}$.

On considère un système semi-linéaire du premier ordre de taille $2\times 2$ dans un ouvert de ${ℝ}^n$, une hypersurface $S$ non caractéristique et une hypersurface $\Gamma$ de $S$. On suppose que, par $\Gamma$, passent deux hypersurfaces caractéristiques ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ transverses et que les bicaractéristiqiues sur ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$ sont transverses à $\Gamma$. Soit $u$ une solution dans une demi-région $\Omega$ délimitée par $\sigma$. On suppose que $u$ est la restriction à $\Omega$ d’une distribution conormale par morceaux par rapport à ${\Sigma }_1$, ${\Sigma }_2$. Pour le problème de Cauchy,...

Nous montrons principalement que, si $f\ge 0$ est une fonction différentiable sur un intervalle $[0,T]$, si sa dérivée est höldérienne d’ordre $\alpha$ avec $0\<\alpha \le 1$ et si $f^{\text{'}}\left(0\right)=0$ (resp. $f^{\text{'}}\left(T\right)=0)$ quand $f\left(0\right)=0$ (resp. $f\left(T\right)=0)$ alors $f^{1/(1+\alpha )}$, qui est absolument continue, admet (presque partout) une dérivée bornée presque partout.

$\Lambda$ étant une suite de nombres réels, soit $B\left(\Lambda \right)$ l’ensemble normal associé. Pour $A\subset ℝ$, nous étudions la question : existe-t-il une suite $\Lambda$ à valeurs dans un intervalle borné $I$ telle que $A=B\left(\Lambda \right)$ ? Dans l’affirmative, nous cherchons alors à minimiser la longueur de l’intervalle $I$. Dans les cas les plus simples, où $A\subset \mathbb{Z}$, ce problème se ramène à minimiser le degré de $Q\in ℝ\left[X\right]$, avec la contrainte «$PQ$ a tous ses coefficients positifs», pour des polynômes $P$ de type très particulier associés aux ensembles...

Let $J_k\left(n\right):=n^k{\prod }_{p\mid n}(1-p^{-k})$ (the $k$-th Jordan totient function, and for $k=1$ the Euler phi function), and consider the associated error term $$E_k\left(x\right):=\sum _{n\le x}{J}_k\left(n\right)-\frac{x^{k+1}}{(k+1)\zeta (k+1)}.$$ When $k\ge 2$, both $i_k:=E_k\left(x\right)x^{-k}$ and $s_k:=lim\; sup{E}_k\left(x\right)x^{-k}$ are finite, and we are interested in estimating these quantities. We may consider instead $$Ik:=\underset{n\in \mathbb{N},n\to \infty }{lim\; inf}$$ d 1 (d)dk ( 12 - { nd} ), since from [AS] $i_k=I_k-{\left(\zeta (k+1)\right)}^{-}1$ and from the present paper $s_k=-i_k$. We show that $I_k$ belongs to an interval of the form $$\left(\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}-\frac{1}{(k-1)N^{k-1}},\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}\right),$$ where $N=N\left(k\right)\to \infty$ as $k\to \infty$. From a more practical point of view we describe...

Soit $G$ un groupe commutatif localement compact. On se propose de déterminer les fonctions $f$, définies sur le disque-unité ouvert du plan complexe $[z:|z|\<1]$, à valeurs complexes, telles que la fonction composée $f\left(\phi \right)$ soit définie-positive chaque fois que $\phi$ est une fonction définie-positive sur $G$ avec $\left|\phi \right|\<1$ partout. On prouve que si $G$ contient des éléments dont les ordres sont aussi grands qu’on veut, alors il faut et il suffit que $f$ soit représentée par une série convergente pour $\left|z\right|\<1$ ...