Soit $k=\mathbf{Q}\left(\sqrt{-m}\right)$ un corps quadratique imaginaire, soient $k_{\infty }$ et $F$ ses deux ${\mathbf{Z}}_2$-extensions naturelles (la cyclotomique et la prodiédrale), et soit $\check{k}$ son 2-corps de classes de Hilbert. Soient $𝒫$ le complété en 2 de $k$, $\rho =0$ ou 1, égale à 1 si et seulement si tout diviseur impair de $m$ est congru à $\pm 1\mathrm{mod}8$, $\chi =0$ ou 1 le 2-rang de Gal$(k_{\infty }\cap F/k)$, et $t=0,1$ ou 2 le 2-rang de Gal${\check{k}}_{\infty }F\cap \check{k}/k).$ On a $\chi \le \rho$, et des considérations cohomologiques élémentaires nous donnent d’autres contraintes entre $𝒫$, $\chi$ et $t$, mais nous trouvons 2 obstructions supplémentaires...

Le but de cet article est de montrer qu’un ensemble quelconque de quatre racines des polynômes quintiques $p\left(x\right)$ exhibés par $H$. Darmon forme sous certaines conditions un système fondamental d’unités de la fermeture normale du corps $𝐐\left(\theta \right)$ où $p\left(\theta \right)=0$.

$s\left(n\right)$ désigne la somme des chiffres de l’entier $n$ en base $q$ et ${\sigma }_{\alpha }\left(n\right)$ la somme des chiffres de $n$ associée au développement en fraction continue de $\alpha$. La suite $\left(xs\right(n)+y{\alpha }_{\alpha }(n){)}_{n\in \mathbf{N}}$ est équirépartie modulo 1 si et seulement si $x$ ou $y$ est irrationnel.

Soit $C$ la courbe projective lisse et irréductible, définie sur $Q$, et dont un modèle affine est donné par $y^2=x^5-1$. On désigne par $\infty$ l’unique point de $C$ qui n’est pas contenu dans cette partie affine. Soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $\phi :C^2⟶J$ le morphisme associant à chaque couple $(\xi ,\eta )$ de points de $C$ la classe du diviseur $\left[\xi \right]+\left[\eta \right]-2\left[\infty \right]$ dans Pic${}_{0}C$. Soient $u,v,f$ les trois fonctions rationnelles sur $J$ définies par $$\begin{array}{cc}\hfill u\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)+x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill v\circ \phi (\xi ,\eta )& =x\left(\xi \right)x\left(\eta \right),\hfill \\ \hfill f& =-u+v+1\hfill \end{array}$$ Le but de cet article est de montrer que pour tout point $P$ de $3$-division non nul...

Dans cet article, on montre de manière explicite que toute forme $\mathbb{Z}$-bilinéaire symétrique non dégénérée de rang pair, et non $\mathbb{Q}$-isomorphe au plan hyperbolique, se réalise comme forme trace hermitienne amplifiée d’une algèbre $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$, où $\alpha$ est un entier algébrique. Plus précisemment, on montre que pour tout $S\in M_{2n}\left(\mathbb{Z}\right)$ symétrique, avec det$S\ne 0$ (et det$S\neg \equiv -1$ (mod ${\mathbb{Q}}^{*2}$) si $n=1$), il existe un entier algébrique $\alpha$, une involution $\mathbb{Q}$-linéaire $\sigma$ de $\mathbb{Q}\left(\alpha \right),\lambda \in \mathbb{Q}\left(\alpha \right)\sigma$-symétrique et une $\mathbb{Z}$-base $v_1,\cdots ,v_{2n}$ d’un idéal de $\mathbb{Z}\left[\alpha \right]$ tels que $S=\left(T{r}_{\mathbb{Q}\left(\alpha \right)/\mathbb{Q}}\left(\lambda v_i{v}_j^{\sigma }\right)\right)$.

Plusieurs problèmes liés au problème de Waring utilisent des identités où l’on exprime une forme linéaire en $x$ comme somme ou différence de puissances $k$-ièmes de formes linéaires en $x$. La plupart de ces identités sont fournies par des solutions au problème de Tarry-Escott, sauf deux d’entre elles, dues à Rao et Vaserstein. Nous montrons que ces deux identités sont naturellement liées aux groupes $S_2\times S_2$ et $S_3$, puis développons une théorie qui permet d’associer à chaque groupe fini quelques...

Let $J_k\left(n\right):=n^k{\prod }_{p\mid n}(1-p^{-k})$ (the $k$-th Jordan totient function, and for $k=1$ the Euler phi function), and consider the associated error term $$E_k\left(x\right):=\sum _{n\le x}{J}_k\left(n\right)-\frac{x^{k+1}}{(k+1)\zeta (k+1)}.$$ When $k\ge 2$, both $i_k:=E_k\left(x\right)x^{-k}$ and $s_k:=lim\; sup{E}_k\left(x\right)x^{-k}$ are finite, and we are interested in estimating these quantities. We may consider instead $$Ik:=\underset{n\in \mathbb{N},n\to \infty }{lim\; inf}$$ d 1 (d)dk ( 12 - { nd} ), since from [AS] $i_k=I_k-{\left(\zeta (k+1)\right)}^{-}1$ and from the present paper $s_k=-i_k$. We show that $I_k$ belongs to an interval of the form $$\left(\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}-\frac{1}{(k-1)N^{k-1}},\frac{1}{2\zeta \left(k\right)}\right),$$ where $N=N\left(k\right)\to \infty$ as $k\to \infty$. From a more practical point of view we describe...