The Diophantine equation A² + nB⁴ = C³ has infinitely many integral solutions A, B, C for any fixed integer n. The case n = 0 is trivial. By using a new polynomial identity we generate these solutions, and then give conditions when the solutions are pairwise co-prime.

Soit $E$ une courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$ par un modèle de Weierstrass généralisé :$$y^2+A_{1}xy+A_{3}y=x^3+A_2{x}^2+A_{4}x+A_6;A_i\in \mathbb{Z}.$$Soit $M=(a/d^2,b/d_3)$ avec $(a,d)=1$, un point rationnel sur cette courbe. Pour tout entier $m$, on exprime les coordonnées de $mM$ sous la forme :$$mM=\left(\frac{{\phi }_m\left(M\right)}{{\psi }_n^2\left(m\right)},\frac{{\omega }_m\left(M\right)}{{\psi }_m^3\left(M\right)}\right)=\left(\frac{{\widehat{\phi }}_m}{d^2{\widehat{\psi }}_m^2},\frac{{\widehat{\omega }}_m}{d^3{\widehat{\psi }}_m^3}\right),$$où ${\phi }_m,\psi \_m,{\omega }_m\in \mathbb{Z}[A_1,\cdots ,A_6,x,y]$ et ${\widehat{\phi }}_m$, ${\widehat{\psi }}_m$, ${\widehat{\omega }}_m$ sont déduits par multiplication par des puissances convenables de $d$.Soit $p$ un nombre premier impair et supposons que $M\left(\mathrm{mod}p\right)$ est non singulier et que le rang d’apparition de $p$ dans la suite d’entiers $\left({\widehat{\psi }}_m\right)$ est supérieur ou égal à trois. Notons ce rang par $r=r\left(p\right)$ et soit ${\nu }_p({\widehat{\psi }}_r)=e_0\ge 1$. Nous montrons que la suite $\left({\widehat{\psi }}_m\right)$...

We investigate power values of sums of products of consecutive integers. We give general finiteness results, and also give all solutions when the number of terms in the sum considered is at most ten.